Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.4. Кривизна, главная нормаль 121
Пусть ∃~r
0
(t
0
). Тогда ~r
0
(t
0
) ⊥~r(t
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя скалярное
произведение (~r(t),~r(t)) = |~r|
2
= C
2
, получаем, что
(~r
0
(t
0
),~r(t
0
)) + (~r(t
0
),~r
0
(t
0
)) = 2(~r
0
(t
0
),~r(t
0
)) = 0.
Определение. Пусть Γ — спрямляемая кривая,
Γ = {~r(s), 0 6 s 6 S},
где s — переменная длина ее дуги.
Пусть ∃
~
t =
d~r
ds
в U(s
0
) и
∃
d
~
t
ds
=
d
2
~r
ds
2
в точке s
0
(s
0
∈ [0, S]).
Тогда k = k(s
0
) =
d~r
ds
(s
0
)
называется кривизной кри-
вой Γ в точке кривой (s
0
, ˆr(s
0
)).
Геометрический смысл кривизны k(s
0
) состоит в том,
что k(s
0
) является мгновенной угловой скоростью поворота
касательной (если параметр s считать временем). В самом
деле, поскольку
~
t — единичный вектор, |∆
~
t| = |
~
t(s
0
+ ∆s) −
−
~
t(s
0
)| характеризует величину его поворота при измене-
нии параметра на ∆s. Если величину угла между
~
t(s
0
+
+ ∆s) и
~
t(s
0
), выраженную в радианах, обозначить через
ϕ = ϕ(∆s), то
|∆
~
t| = 2 sin
ϕ
2
∼ ϕ при ∆s → 0 + 0
(в последнем равенстве легко убедиться, построив равно-
бедренный треугольник с боковыми сторонами, совпадаю-
щими с векторами
~
t(s
0
+∆s) и
~
t(s
0
), отложенными от одной
точки). Тогда
k = lim
∆s→0
∆
~
t
∆s
= lim
∆s→0+0
2 sin
ϕ
2
∆s
= lim
∆s→0+0
ϕ(∆s)
∆s
.
                 § 8.4. Кривизна, главная нормаль                            121

   Пусть ∃~r0 (t0 ). Тогда ~r0 (t0 ) ⊥ ~r(t0 ).

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя скалярное
произведение (~r(t),~r(t)) = |~r|2 = C 2 , получаем, что
     (~r0 (t0 ),~r(t0 )) + (~r(t0 ),~r0 (t0 )) = 2(~r0 (t0 ),~r(t0 )) = 0.

   Определение. Пусть Γ — спрямляемая кривая,
                      Γ = {~r(s),       0 6 s 6 S},
где s — переменная длина ее дуги.
   Пусть ∃~t = d~
                r
               ds в U (s0 ) и
                 d~t  d2~r
             ∃       = 2 в точке s0             (s0 ∈ [0, S]).
                 ds   ds
   Тогда k = k(s0 ) = d~     r
                            ds (s0 ) называется кривизной кри-
вой Γ в точке кривой (s0 , r̂(s0 )).
   Геометрический смысл кривизны k(s0 ) состоит в том,
что k(s0 ) является мгновенной угловой скоростью поворота
касательной (если параметр s считать временем). В самом
деле, поскольку ~t — единичный вектор, |∆~t| = |~t(s0 + ∆s) −
−~t(s0 )| характеризует величину его поворота при измене-
нии параметра на ∆s. Если величину угла между ~t(s0 +
+ ∆s) и ~t(s0 ), выраженную в радианах, обозначить через
ϕ = ϕ(∆s), то
                          ϕ
             |∆~t| = 2 sin ∼ ϕ при ∆s → 0 + 0
                           2
(в последнем равенстве легко убедиться, построив равно-
бедренный треугольник с боковыми сторонами, совпадаю-
щими с векторами ~t(s0 +∆s) и ~t(s0 ), отложенными от одной
точки). Тогда
                   ∆~t              2 sin ϕ
                                          2        ϕ(∆s)
      k = lim           = lim               = lim        .
           ∆s→0 ∆s        ∆s→0+0 ∆s          ∆s→0+0 ∆s

Страницы