Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.3. Длина дуги кривой 119
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция |~r
0
(t)| как непрерыв-
ная на отрезке [a, b] достигает на нем своего максимума.
Пусть τ = {t
i
}
i
τ
i=1
— некоторое разбиение отрезка [a, b]. То-
гда с помощью (8.1.1) имеем
|~r(b) −~r(a)| 6 S
Λ
τ
=
i
τ
X
i=1
|~r(t
i
) −~r(t
i−1
) 6
6 max
a6t6b
|~r
0
(t)|
i
X
i=1
(t
i
− t
i−1
) = max
a6t6b
|~r
0
(t)|(b − a).
Переходя в этом неравенстве к верхней грани по τ, по-
лучаем утверждение теоремы.
Теорема 2. Пусть кривая Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} не-
прерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги
s = s(t), отсчитываемая от ее начала (a, ˆr(a)), является воз-
растающей непрерывно дифференцируемой функцией пара-
метра t, причем
ds
dt
=
d~r
dt
=
p
x
02
+ y
02
+ z
02
ds
2
= |d~r|
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s = s(t) — длина дуги
кривой
Γ
t
= {~r(t) : a 6 u 6 t}, a 6 t 6 b,
которая является дугой (т. е. частью) кривой Γ. Пусть
a 6 t
0
< t
0
+ ∆t 6 b . Применяя предыдущую теорему к
дуге {~r(t): t
0
6 t 6 t + ∆t} длины ∆s(t
0
) = s(t
0
+ ∆ t) −s(t
0
)
(см. последнее упражнение), получаем
|~r(t
0
+ ∆t) −~r(t
0
)| 6 ∆s 6 max
t
0
6t6t
0
+∆t
|~r
0
(t)|∆t.
Деля на ∆t и переходя к пределу при ∆t → 0 + 0, полу-
чаем, что s
0
+
(t
0
) = |~r
0
(t
0
)|.
Аналогично устанавливается, что s
0
−
(t
0
) = |~r
0
(t
0
)|.
                  § 8.3. Длина дуги кривой                                119

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция |~r0 (t)| как непрерыв-
ная на отрезке [a, b] достигает на нем своего максимума.
Пусть τ = {ti }ii=1
                 τ
                    — некоторое разбиение отрезка [a, b]. То-
гда с помощью (8.1.1) имеем
                         iτ
                         X
|~r(b) −~r(a)| 6 SΛτ =         |~r(ti ) −~r(ti−1 ) 6
                         i=1
                                i
                                X
                         0
             6 max |~r (t)|            (ti − ti−1 ) = max |~r0 (t)|(b − a).
                a6t6b                                  a6t6b
                                 i=1
   Переходя в этом неравенстве к верхней грани по τ , по-
лучаем утверждение теоремы.
   Теорема 2. Пусть кривая Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} не-
прерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги
s = s(t), отсчитываемая от ее начала (a, r̂(a)), является воз-
растающей непрерывно дифференцируемой функцией пара-
метра t, причем
                ds   d~r    p
                   =     = x02 + y 02 + z 02
                dt    dt
                ds2 = |d~r|2 = dx2 + dy 2 + dz 2 .

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s = s(t) — длина дуги
кривой
              Γt = {~r(t) : a 6 u 6 t}, a 6 t 6 b,
которая является дугой (т. е. частью) кривой Γ. Пусть
a 6 t0 < t0 + ∆t 6 b . Применяя предыдущую теорему к
дуге {~r(t): t0 6 t 6 t + ∆t} длины ∆s(t0 ) = s(t0 + ∆t) − s(t0 )
(см. последнее упражнение), получаем
       |~r(t0 + ∆t) −~r(t0 )| 6 ∆s 6           max         |~r0 (t)|∆t.
                                            t0 6t6t0 +∆t

   Деля на ∆t и переходя к пределу при ∆t → 0 + 0, полу-
чаем, что s0+ (t0 ) = |~r0 (t0 )|.
   Аналогично устанавливается, что s0− (t0 ) = |~r0 (t0 )|.

Страницы