Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 117 стр.

                        § 8.2. Кривая                       117

    При этом под допустимой заменой параметра понима-
ется такая, при которой
    1◦ . g(τ ): [α, β] ↔ [a, b], g непрерывна и строго монотонна
на [α, β].
    Обратим внимание, что при этом от Γ̃ можно перейти
к Γ также с помощью непрерывной и строго монотонной
замены параметра g −1 (обратной к g).
    Понятие «допустимой» замены параметра определяется
нашим желанием сохранить те или иные свойства кривой
при такой замене. Так, например, если мы хотим сохра-
нить ориентацию кривой, то к требованию 1◦ присоединя-
ется требование
    1◦◦ . g строго возрастает на [α, β].
    Последнее равносильно, очевидно, условию g(α) = a,
g(β) = b.
    Если Γ — дифференцируемая (непрерывно дифферен-
цируемая) кривая, то допустимой заменой параметра на
Γ будем называть замену t = g(τ ), удовлетворяющую, по-
мимо условия 1◦ , еще и условиям
    2◦ . g дифференцируема (непрерывно дифференцируе-
мая) на [α, β];
    3◦ . g 0 (τ ) 6= 0 при α 6 τ 6 β.
    При этом, очевидно, дифференцируемая (непрерывно
дифференцируемая) кривая Γ переходит в дифференциру-
емую (непрерывно дифференцируемую) кривую Γ̃.
    При выполнении условий 1◦ , 2◦ , 3◦ обратная к g функ-
ция g −1 будет, очевидно, удовлетворять тем же условиям.
Кривые Γ и Γ̃ при этом отождествляют (иначе говоря, их
называют одной и той же кривой, различным образом па-
раметризованной).
    Упражнение 1. Показать, что при замене параметра,
удовлетворяющей условиям 1◦ , 2◦ , 3◦ (т. е. при допустимой
замене параметра),
a) неособая точка переходит в неособую;