Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 116 стр.

116       Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

    Если t0 = a или t0 = b и в t0 существует отличная от
~0 односторонняя производная вектора ~r, то существует и
односторонняя касательная (которая определяется по ана-
логии с касательной).
   Определение. Кривая Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} называ-
ется дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой),
если ~r(t) — дифференцируема (непрерывно дифференциру-
ема) на [a, b].
   Определение.     Точка (t0 , r̂(t0 )) дифференцируемой
кривой Γ называется неособой точкой, если ~r0 (t0 ) 6= 0, и
называется особой точкой в противном случае.
   В последней лемме показано, что дифференцируемая
кривая в каждой неособой точке имеет касательную.
    Определение. Непрерывно дифференцируемая кривая
без особых точек называется гладкой кривой.
   Определение. Пусть Γ = {r̂(t), a 6 t 6 b}, c ∈ (a, b).
Тогда каждая из кривых
       Γ0 = {r̂(t), a 6 t 6 c},   Γ00 = {r̂(t), c 6 t 6 b}
называется дугой кривой Γ.
   При этом кривая Γ называется кусочно непрерывно диф-
ференцируемой (кусочно гладкой), если каждая из ее дуг
является непрерывно дифференцируемой (гладкой).
   Аналогичное определение можно дать и в случае, когда
кривая Γ разбита на любое конечное число дуг.
   Рассмотрим вопрос о преобразовании (замене) параме-
тра на кривой.
   Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}, t = g(τ ), ~ρ(τ ) = ~r(g(τ )),
                   Γ̃ = {~ρ(τ ), α 6 τ 6 β}.
   Будем считать кривую Γ̃ той же, что и Γ, но иначе па-
раметризованной, если замена параметра t = g(τ ) является
допустимой.