Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 114 стр.

114        Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

                        § 8.2. Кривая
   Будем считать, что в трехмерном пространстве R3 фик-
сирована прямоугольная система координат.
    Определение. Множество точек Γ ⊂ R3 с конкретным
его описанием:
               Γ = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b},
где x, y, z — непрерывные функции на [a, b], называется
(непрерывной) кривой.
   Говорят еще, что кривой называется «непрерывное ото-
бражение отрезка в пространство R3 ». На разъяснении
этого понятия останавливаться здесь не будем.
   Подчеркнем, что кривая определяется не только поло-
жением множества точек в R3 , но и способом его описания.
   Ту же кривую Γ можно задать в виде
        Γ = {~r(t), a 6 t 6 b},   Γ = {r̂(t), a 6 t 6 b},
где ~r(t) B (x(t), y(t), z(t)) — радиус-вектор точки r̂(t) B
B (x(t), y(t), z(t)).     Точкой кривой Γ называют пару
{t, r̂(t)}.
     Точка M ∈ R3 называется кратной точкой (точкой
самопересечения) кривой Γ, если ∃ t1 , t2 ∈ [a, b], t1 6= t2 :
r̂(t1 ) = r̂(t2 ) = M .
     Кривая без кратных точек называется простой кривой
(или простой дугой).
     Кривая Γ называется замкнутой кривой или контуром,
если r̂(a) = r̂(b). Контур называется простым контуром,
если из a 6 t1 < t2 6 b, r̂(t1 ) = r̂(t2 ) следует t1 = a, t2 = b.
     Возрастание параметра t определяет некоторое напра-
вление движения точки r̂(t) по кривой (некоторый порядок
прохождения точек кривой).
     Поэтому говорят, что на кривой Γ задана ориентация,
рассматриваемую кривую называют ориентированной кри-