Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 113 стр.

               § 8.1. Векторнозначные функции                        113

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждую компоненту вектор-
функции ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) заменим ее разложением по
формуле Тейлора. Полученное представление ~r(t) предста-
вим в виде суммы векторов, стоящих в правой части дока-
зываемой формулы Тейлора.
   З а м е ч а н и е. Остаточный член доказанной
формулы Тейлора есть, конечно, ~o((t − t0 )n ) при t → t0 .
   Мы видим, что многие свойства числовых функций пе-
реносятся на вектор-функции. Не так обстоит дело с фор-
мулой конечных приращений Лагранжа. В самом деле,
пусть ~r(t) = (cos t, sin t, 0), 0 6 t 6 2π. Тогда ~r0 (t) =
= (− sin t, cos t, 0), |~r0 (t)| = 1 и
                ~0 = ~r(2π) −~r(0) 6= ~r0 (ξ)(2π − 0)

ни при каком ξ.
   Справедлив, однако, векторный аналог оценки, вытека-
ющей из теоремы Лагранжа.

   Теорема 5. Пусть ~r = ~r(t) непрерывна на [a, b] и диф-
ференцируема на (a, b). Тогда ∃ ξ ∈ (a, b):
                   |~r(b) −~r(a)| 6 |~r0 (ξ)|(b − a).                (1)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Считая, что ~r(b) 6= ~r(a), поло-
           ~r(b) −~r(a)
жим ~e = |~r(b) −~r(a)| . Тогда |~e| = 1 и

     |~r(b) −~r(a)| = (~r(b) −~r(b),~e) = (~r(b),~e) − (~r(a),~e).
Введем функцию f (t) = (~r(t),~e). Для нее выполнены усло-
вия теоремы Лагранжа. Поэтому
∃ ξ ∈ (a, b) : |~r(b) −~r(a)| = f (b) − f (a) =
                                 = f 0 (ξ)(b − a) = (~r0 (ξ),~e)(b − a).

   Отсюда следует утверждение теоремы.