Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
Из ~r(t(τ)) =
x(t(τ), y(t(τ)), z(t(τ)))
дифференцирова-
нием получаем
d
dt
~r(t(δ)) =
x
0
(t(τ)t
0
(τ), y
0
(t(τ))t
0
(τ), z
0
(t(τ))t
0
(τ))
=
=~r
0
(t(τ))t
0
(τ).
Из этой формулы получаем выражение для дифферен-
циала сложной вектор-функции:
d~r =~r
0
t
0
dτ =~r
0
dt.
Как видим, дифференциал d~r записывается в том же
виде d~r = ~r
0
dt, как и в случае, когда t — независимая пере-
менная. В этом состоит свойство инвариантности формы
дифференциала первого порядка.
Производные высших порядков и дифференциалы выс-
ших порядков вектор-функций определяются аналогично
тому, как это сделано для числовых функций. Именно:
~r
00
(t) = (~r
0
(t))
0
и вообще ~r
(n)
(t) = (~r
(n−1)
(t))
0
,
d
2
~r(t) = δ(d~r(t))
δt=dt
= δ(~r
0
(t) dt)
δt=dt
=~r
00
(t)(dt)
2
,
и вообще
d
n
~r(t) = δ(d
n−1
~r(t))
δt=dt
=
= δ(~r
(n−1)
(t)(dt)
n−1
)
δt=dt
=~r
n
(t)(dt)
n
.
Теорема 4 (формула Тейлора). Пусть ∃~r
(n)
(t
0
).
Тогда ∃U(t
0
) такая, что при t ∈
˚
U(t
0
)
~r(t) =
n
X
k=0
~r
(k)
(t
0
)
k!
(t − t
0
)
k
+~ε(t − t
0
)(t − t
0
)
n
,
где ~ε(t − t
0
) →
~
0 при t → t
0
.
112           Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
                                                         
     Из ~r(t(τ )) = x(t(τ ), y(t(τ )), z(t(τ ))) дифференцирова-
нием получаем
 d
   ~r(t(δ)) = x0 (t(τ )t0 (τ ), y 0 (t(τ ))t0 (τ ), z 0 (t(τ ))t0 (τ )) =
                                                                       
dt
                                                                = ~r0 (t(τ ))t0 (τ ).


   Из этой формулы получаем выражение для дифферен-
циала сложной вектор-функции:
                             d~r = ~r0 t0 dτ = ~r0 dt.
      Как видим, дифференциал d~r записывается в том же
виде d~r = ~r0 dt, как и в случае, когда t — независимая пере-
менная. В этом состоит свойство инвариантности формы
дифференциала первого порядка.
      Производные высших порядков и дифференциалы выс-
ших порядков вектор-функций определяются аналогично
тому, как это сделано для числовых функций. Именно:
~r00 (t) = (~r0 (t))0 и вообще ~r(n) (t) = (~r(n−1) (t))0 ,
      d2~r(t) = δ(d~r(t))    δt=dt
                                      = δ(~r0 (t) dt)   δt=dt
                                                                = ~r00 (t)(dt)2 ,
и вообще
dn~r(t) = δ(dn−1~r(t))       δt=dt
                                     =
                              = δ(~r(n−1) (t)(dt)n−1 )      δt=dt
                                                                     = ~rn (t)(dt)n .



   Теорема 4 (формула Тейлора).                                 Пусть ∃~r(n) (t0 ).
Тогда ∃ U (t0 ) такая, что при t ∈ Ů (t0 )
                   n
                   X ~r(k) (t0 )
         ~r(t) =                     (t − t0 )k +~ε(t − t0 )(t − t0 )n ,
                            k!
                   k=0

где ~ε(t − t0 ) → ~0 при t → t0 .

Страницы