Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

110 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
Определение. Пусть вектор-функция ~r =~r(t) опреде-
лена на [a, b]. Вектор ~r
0
называют ее пределом справа в
точке a и пишут
~r
0
= lim
t→a+0
~r(t) =~r(a + 0),
если lim
t→a+0
|~r(t) −~r
0
| = 0.
Аналогично определяется lim
t→b−0
~r(t) =~r(b − 0).
Свойства 1
◦
–4
◦
верны и для односторонних пределов.
Определение. Пусть вектор-функция определена в
U(t
0
). Она называется непрерывной в точке t
0
, если
lim
t→t
0
~r(t) =~r(t
0
).
Из свойств пределов вектор-функций следует, что не-
прерывность вектор-функции равносильна непрерывности
трех числовых функций — ее компонент.
Теорема 2. Пусть вектор-функции ~r
1
= ~r
1
(t), ~r
2
=
=~r
2
(t) и числовая функция f = f(t) непрерывны в точке t
0
.
Тогда ~r
1
±~r
2
, f~r
1
, (~r
1
,~r
2
), [~r
1
,~r
2
] непрерывны в точке t
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств пределов
вектор-функций.
Аналогично определению непрерывности дается опреде -
ление односторонней непрерывнос ти. На этот случай пере-
носятся свойства, указанные в последней теореме.
Производная вектор-функции ~r = ~r(t), определенной в
U(t
0
), определяется как предел
~r
0
(t
0
) B lim
∆t→t
0
~r
0
(t
0
+ ∆t) −~r(t
0
)
∆t
,
если этот предел существует.
Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то, как легко усмотреть,
~r
0
(t) = (x
0
(t), y
0
(t), z
0
(t)).
Односторонние производные вектор-функции определяются
как соответствующие односторонние пределы отношения
приращения вектор-функции к приращению аргумента.
110         Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

   Определение. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) опреде-
лена на [a, b]. Вектор ~r0 называют ее пределом справа в
точке a и пишут
                    ~r0 = lim ~r(t) = ~r(a + 0),
                          t→a+0
если lim |~r(t) −~r0 | = 0.
       t→a+0
      Аналогично определяется lim ~r(t) = ~r(b − 0).
                                       t→b−0
    Свойства 1◦ –4◦ верны и для односторонних пределов.
    Определение. Пусть вектор-функция определена в
U (t0 ). Она называется непрерывной в точке t0 , если
lim ~r(t) = ~r(t0 ).
t→t0
   Из свойств пределов вектор-функций следует, что не-
прерывность вектор-функции равносильна непрерывности
трех числовых функций — ее компонент.
    Теорема 2. Пусть вектор-функции ~r1 = ~r1 (t), ~r2 =
= ~r2 (t) и числовая функция f = f (t) непрерывны в точке t0 .
Тогда ~r1 ±~r2 , f~r1 , (~r1 ,~r2 ), [~r1 ,~r2 ] непрерывны в точке t0 .
    Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств пределов
вектор-функций.
    Аналогично определению непрерывности дается опреде-
ление односторонней непрерывности. На этот случай пере-
носятся свойства, указанные в последней теореме.
    Производная вектор-функции ~r = ~r(t), определенной в
U (t0 ), определяется как предел
                                    ~r0 (t0 + ∆t) −~r(t0 )
               ~r0 (t0 ) B lim                             ,
                           ∆t→t0                 ∆t
если этот предел существует.
    Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то, как легко усмотреть,
                    ~r0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)).
Односторонние производные вектор-функции определяются
как соответствующие односторонние пределы отношения
приращения вектор-функции к приращению аргумента.

Страницы