Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8
КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8.1. Векторнозначные функции
Определение. Пусть каждой точке t ∈ [a, b] поставлен
в соответствие вектор ~r = ~r(t) трехмерного пространства.
Тогда будем говорить, что на отрезке [a, b] задана вектор-
функция (или векторная функция).
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована де-
картова система координат. Тогда ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
где x(t), y(t), z(t) — компоненты вектора ~r(t). Таким обра-
зом, задание на [a, b] вектор-функции равносильно заданию
на [a, b] трех числовых функций.
Символом |~r| обозначают длину вектора ~r.
Определение. Вектор ~r
0
называется пределом век-
тор-функции ~r = ~r(t) при t → t
0
(пишут ~r
0
= lim
t→t
0
~r(t)),
если lim
t→t
0
|~r(t) −~r
0
| = 0.
Как видим, в этом определении предполагается, что~r =
=~r(t) определена в некоторой
˚
U(t
0
).
Определение предела вектор-функции сведено к извест-
ному определению предела числовой функции f(t) = |~r(t) −
−~r
0
|. Можно дать и другое (эквивалентное) определение
предела вектор-функции, не опирающееся на понятие пре-
дела числовой функции. Для этого достаточно расписать
последнее в ε-δ-терминах. Имеем
Определение. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) опре-
делена на
˚
U(t
0
). Вектор ~r
0
называется пределом ~r = ~r(t),
если
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |~r(t)−~r
0
| < ε ∀t : 0 < |t−t
0
| < δ.
                Глава 8
         КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ
            ПРОСТРАНСТВЕ

            § 8.1. Векторнозначные функции
    Определение. Пусть каждой точке t ∈ [a, b] поставлен
в соответствие вектор ~r = ~r(t) трехмерного пространства.
Тогда будем говорить, что на отрезке [a, b] задана вектор-
функция (или векторная функция).
    Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована де-
картова система координат. Тогда ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
где x(t), y(t), z(t) — компоненты вектора ~r(t). Таким обра-
зом, задание на [a, b] вектор-функции равносильно заданию
на [a, b] трех числовых функций.
    Символом |~r| обозначают длину вектора ~r.
  Определение. Вектор ~r0 называется пределом век-
тор-функции ~r = ~r(t) при t → t0 (пишут ~r0 = lim ~r(t)),
                                                         t→t0
если lim |~r(t) −~r0 | = 0.
     t→t0
    Как видим, в этом определении предполагается, что~r =
= ~r(t) определена в некоторой Ů (t0 ).
    Определение предела вектор-функции сведено к извест-
ному определению предела числовой функции f (t) = |~r(t) −
− ~r0 |. Можно дать и другое (эквивалентное) определение
предела вектор-функции, не опирающееся на понятие пре-
дела числовой функции. Для этого достаточно расписать
последнее в ε-δ-терминах. Имеем
   Определение. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) опре-
делена на Ů (t0 ). Вектор ~r0 называется пределом ~r = ~r(t),
если
∀ε > 0      ∃ δ = δ(ε) > 0 : |~r(t)−~r0 | < ε ∀ t : 0 < |t−t0 | < δ.

Страницы