Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.1. Векторнозначные функции 109
Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и ~r
0
(x
0
, y
0
, z
0
), то
|~r(t) −~r
0
| =
p
(x(t) −x
0
)
2
+ (y(t) − y
0
)
2
+ (z(t) −z
0
)
2
.
Из этого равенства видно, что существование предела
lim
t→t
0
~r(t) = ~r
0
равносильно существованию трех пределов
числовых функций
lim
t→t
0
x(t) = x
0
, lim
t→t
0
y(t) = y
0
, lim
t→t
0
z(t) = z
0
.
Теорема 1. Пусть существуют пределы
lim
t→t
0
~r
1
(t) = x
0
, lim
t→t
0
~r
2
(t) = y
0
, lim
t→t
0
f(t) = z
0
,
где f — числовая функция. Тогда
1.
◦
∃ lim
t→t
0
(~r
1
(t) ±r
2
(t)) = lim
t→t
0
~r
1
(t) ± lim
t→t
0
~r
2
(t);
2.
◦
∃ lim
t→t
0
f(t)~r
1
(t) = lim
t→t
0
f(t) lim
t→t
0
~r
1
(t);
3.
◦
∃ lim
t→t
0
(~r
1
(t), r
2
(t)) =
lim
t→t
0
~r
1
(t), lim
t→t
0
~r
2
(t)
;
4.
◦
∃ lim
t→t
0
[~r
1
(t), r
2
(t)] =
lim
t→t
0
~r
1
(t), lim
t→t
0
~r
2
(t)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства можно вывести из
свойств числовых функций, перейдя к соответствующим
равенствам для компонент векторов.
Их можно доказать и непосредственно, опираясь на
определение предела ве ктор-функции. Установим для при-
мера свойство 4
◦
. Пусть lim
t→t
0
~r
1
(t) = ~r
10
, lim
t→t
0
~r
2
(t) = ~r
20
.
Тогда ~r
1
(t) =~r
10
+~α(t), ~r
2
(t) =~r
20
+
~
β(t), где ~α(t),
~
β(t) →
~
0
при t → t
0
.
Имеем~r
1
(t)×~r
2
(t)−~r
10
×~r
20
= (~r
10
+~α(t))×(~r
20
+
~
β(t))−
−~r
10
×~r
20
= ~r
10
×
~
β(t) + ~α(t) ×~r
20
+ ~α(t) × β(t) →
~
0 при
t → t
0
, так как
|~r
10
×
~
β(t)| 6 |~r
10
||
~
β(t)| → 0, |~α(t) ×~r
20
| 6 |~α(t)||~r
20
| → 0,
|~α(t) ×
~
β(t)| 6 |~α(t)||
~
β(t)| → 0,
                    § 8.1. Векторнозначные функции                         109

     Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и ~r0 (x0 , y0 , z0 ), то
                  p
   |~r(t) −~r0 | = (x(t) − x0 )2 + (y(t) − y0 )2 + (z(t) − z0 )2 .
Из этого равенства видно, что существование предела
lim ~r(t) = ~r0 равносильно существованию трех пределов
t→t0
числовых функций
           lim x(t) = x0 ,      lim y(t) = y0 ,        lim z(t) = z0 .
          t→t0                 t→t0                   t→t0

    Теорема 1. Пусть существуют пределы
          lim ~r1 (t) = x0 ,    lim ~r2 (t) = y0 ,      lim f (t) = z0 ,
         t→t0                  t→t0                    t→t0
где f — числовая функция. Тогда
    1.◦ ∃ lim (~r1 (t) ± r2 (t)) = lim ~r1 (t) ± lim ~r2 (t);
             t→t0                       t→t0           t→t0
       2.◦ ∃ lim f (t)~r1 (t) = lim f (t) lim ~r1 (t);
             t→t0                 t→t0    t→t0              
         ◦
       3. ∃ lim (~r1 (t), r2 (t)) = lim ~r1 (t), lim ~r2 (t) ;
             t→t0
                                     t→t0        t→t0
                                                            
         ◦
       4. ∃ lim [~r1 (t), r2 (t)] = lim ~r1 (t), lim ~r2 (t) .
             t→t0                      t→t0          t→t0
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства можно вывести из
свойств числовых функций, перейдя к соответствующим
равенствам для компонент векторов.
   Их можно доказать и непосредственно, опираясь на
определение предела вектор-функции. Установим для при-
мера свойство 4◦ . Пусть lim ~r1 (t) = ~r10 , lim ~r2 (t) = ~r20 .
                                      t→t0                    t→t0
Тогда ~r1 (t) = ~r10 +~α(t), ~r2 (t) = ~r20 + ~β(t), где ~α(t), ~β(t) → ~0
при t → t0 .
     Имеем~r1 (t)×~r2 (t)−~r10 ×~r20 = (~r10 +~α(t))×(~r20 +~β(t))−
−~r10 ×~r20 = ~r10 × ~β(t) + ~α(t) ×~r20 + ~α(t) × β(t) → ~0 при
t → t0 , так как
 |~r10 × ~β(t)| 6 |~r10 | |~β(t)| → 0, |~α(t) ×~r20 | 6 |~α(t)| |~r20 | → 0,
                     |~α(t) × ~β(t)| 6 |~α(t)| |~β(t)| → 0,

Страницы