Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.1. Векторнозначные функции 111
Определение. Вектор-функция ~r = ~r(t), определенная
в U(t
0
), называется дифференцируемой в точке t
0
, если при
t = t
0
+ ∆t ∈
˚
U(t
0
)
~r(t
0
+ ∆t) −~r(t
0
) =
~
A∆t +~ε(∆t)∆t,
где ~ε(∆t) →
~
0 = (0, 0, 0) при ∆t → 0.
Как и в случае числовых функций показывается, что
существование производной ~r
0
(t
0
) и дифференцируемость ~r
в точке t
0
— эквивалентные свойства и что
~
A =~r
0
(t
0
).
Дифференцируемость~r в точке t
0
(существование~r
0
(t
0
))
влечет, очевидно, непрерывность ~r в точке t
0
.
Дифференциалом функции ~r =~r(t) в точке t
0
называется
линейная функция
d~r(t
0
) =~r
0
(t
0
) dt, −∞ < dt < +∞.
Теорема 3. Пусть в точке t
0
существуют производные
функций~r
1
=~r
1
(t),~r
2
=~r
2
(t) и числовой функции f = f(t).
Тогда в точке t
0
1.
◦
∃(~r
1
+~r
2
)
0
=~r
0
1
+~r
0
2
;
2.
◦
∃(f~r
1
)
0
= f
0
~r
1
+ f~r
0
1
;
3.
◦
∃(~r
1
,~r
2
)
0
= (~r
0
1
,~r
2
) + (~r
1
,~r
0
2
);
4.
◦
∃[~r
1
,~r
2
]
0
= [~r
0
1
,~r
2
] + [~r
1
,~r
0
2
].
Д о к а з а т е л ь с т в о приведем лишь для свойства 4
◦
.
~r
1
(t
0
+ ∆t) ×~r
2
(t
0
+ ∆t) −~r
1
(t
0
) ×~r
2
(t
0
) =
= (~r
1
(t
0
+ ∆t) −~r
1
(t
0
)) × r
2
(t
0
+ ∆t)+
+~r
1
(t
0
) × (~r
2
(t
0
+ ∆t) −~r
2
(t
0
)).
Поделив на ∆t и переходя к пределу при ∆t → 0, полу-
чаем 4
◦
.
Выведем правило дифференцирования сложной вектор-
функции ~r(t(τ )), τ ∈ U (τ
0
).
                § 8.1. Векторнозначные функции                           111

    Определение. Вектор-функция ~r = ~r(t), определенная
в U (t0 ), называется дифференцируемой в точке t0 , если при
t = t0 + ∆t ∈ Ů (t0 )
              ~r(t0 + ∆t) −~r(t0 ) = ~A∆t +~ε(∆t)∆t,
где ~ε(∆t) → ~0 = (0, 0, 0) при ∆t → 0.
    Как и в случае числовых функций показывается, что
существование производной ~r0 (t0 ) и дифференцируемость ~r
в точке t0 — эквивалентные свойства и что ~A = ~r0 (t0 ).
    Дифференцируемость~r в точке t0 (существование~r0 (t0 ))
влечет, очевидно, непрерывность ~r в точке t0 .
    Дифференциалом функции ~r = ~r(t) в точке t0 называется
линейная функция
              d~r(t0 ) = ~r0 (t0 ) dt,   −∞ < dt < +∞.


   Теорема 3. Пусть в точке t0 существуют производные
функций ~r1 = ~r1 (t), ~r2 = ~r2 (t) и числовой функции f = f (t).
Тогда в точке t0
   1.◦ ∃ (~r1 +~r2 )0 = ~r01 +~r02 ;
   2.◦ ∃ (f~r1 )0 = f 0~r1 + f~r01 ;
   3.◦ ∃ (~r1 ,~r2 )0 = (~r01 ,~r2 ) + (~r1 ,~r02 );
   4.◦ ∃ [~r1 ,~r2 ]0 = [~r01 ,~r2 ] + [~r1 ,~r02 ].
    Д о к а з а т е л ь с т в о приведем лишь для свойства 4◦ .
~r1 (t0 + ∆t) ×~r2 (t0 + ∆t) −~r1 (t0 ) ×~r2 (t0 ) =
             = (~r1 (t0 + ∆t) −~r1 (t0 )) × r2 (t0 + ∆t)+
                                     +~r1 (t0 ) × (~r2 (t0 + ∆t) −~r2 (t0 )).

   Поделив на ∆t и переходя к пределу при ∆t → 0, полу-
чаем 4◦ .
   Выведем правило дифференцирования сложной вектор-
функции ~r(t(τ )), τ ∈ U (τ0 ).

Страницы