Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 106 стр.

106        Глава 7. Исследование поведения функций

   Теорема 1. Для того чтобы график функции f имел
при x → +∞ наклонную асимптоту y = kx + l, необходимо
и достаточно, чтобы
                f (x)
          lim         = k,  lim (f (x) − kx) = l.
         x→+∞ x            x→+∞

   Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается провести в каче-
стве упражнения.
   Аналогично формулируется теорема о существовании
(наклонной) асимптоты при x → −∞.
   Определение. Прямая x = x0 называется вертикаль-
ной асимптотой графика функции f , если хотя бы один из
пределов f (x0 + 0), f (x0 − 0) существует и равен +∞ или
−∞.
   Упражнение 1. Выяснить наличие наклонных и вер-
тикальных асимптот у графиков функций f (x) = x −
− 2 arctg x, f (x) = ln(1 + x).

       § 7.4. Построение графика функции
   Построение графика функции рекомендуется проводить
по следующей схеме.
   1◦ . Найти область определения функции, точки разрыва.

   2◦ . Выяснить вопрос о существовании асимптот.
   3◦ . Приблизительно нарисовать график функции.
   4◦ . Вычислить первую и вторую производные.
   5◦ . Найти точки, в которых эти производные не суще-
ствуют или равны нулю.
   6◦ . Составить таблицу изменения знаков первой и вто-
рой производной.
   7◦ . Найти области возрастания и убывания функции и
точки экстремума.
   8◦ . Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) функции,
точки перегиба.