Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7.3. Асимптоты 105
Теорема 3 (достаточные условия точки пере-
гиба). Пусть ∃f
0
(x
0
), а f
00
меняет знак при переходе
через точку x
0
.
Тогда x
0
— точка перегиба.
Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к проверке определе-
ния точки перегиба с помощью теоремы о достаточных
условиях строгой выпуклости функции.
Следствие. Пусть f
00
(x
0
) = 0, f
000
(x
0
) 6= 0.
Тогда x
0
— точка перегиба функции f .
Теорема 4 (о расположении кривой относительно
касательной).
1.
◦
Если f
00
(x
0
) > 0 (f
00
(x
0
) < 0), то ∃U (x
0
): кривая y =
= f(x) лежит строго выше (строго ниже) касатель-
ной y = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) при x ∈
˚
U(x
0
).
2.
◦
Если f
00
(x
0
) = 0, f
000
(x
0
) 6= 0, то ∃U(x
0
): кривая y =
= f(x) переходит через касательную, т. е. при x <
< x
0
и x > x
0
(x ∈
˚
U(x
0
)), лежит строго по разные
стороны от касательной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x) = f(x) − (f(x
0
) +
+ f
0
(x
0
)(x −x
0
)). Тогда вопрос сводится к изучению распо-
ложения графика функции F при x ∈
˚
U(x
0
) относительно
прямой (касательной) y = 0 и решается применением тео-
ремы 7.1.4.
§ 7.3. Асимптоты
Определение. Пусть функция f определена на
(a, +∞). Прямая y = kx + l называется асимптотой (или
наклонной асимптотой) графика функции f при x → +∞,
если
f(x) = kx + l + o(1) при x → +∞.
Аналогично определяется (наклонная) асимптота при x →
→ −∞.
                        § 7.3. Асимптоты                          105

   Теорема 3 (достаточные условия точки пере-
гиба).    Пусть ∃ f 0 (x0 ), а f 00 меняет знак при переходе
через точку x0 .
   Тогда x0 — точка перегиба.
   Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к проверке определе-
ния точки перегиба с помощью теоремы о достаточных
условиях строгой выпуклости функции.
    Следствие. Пусть f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0.
    Тогда x0 — точка перегиба функции f .

   Теорема 4 (о расположении кривой относительно
касательной).
   1.◦ Если f 00 (x0 ) > 0 (f 00 (x0 ) < 0), то ∃ U (x0 ): кривая y =
       = f (x) лежит строго выше (строго ниже) касатель-
       ной y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) при x ∈ Ů (x0 ).
   2.◦ Если f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0, то ∃ U (x0 ): кривая y =
       = f (x) переходит через касательную, т. е. при x <
       < x0 и x > x0 (x ∈ Ů (x0 )), лежит строго по разные
       стороны от касательной.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x) = f (x) − (f (x0 ) +
+ f 0 (x0 )(x − x0 )). Тогда вопрос сводится к изучению распо-
ложения графика функции F при x ∈ Ů (x0 ) относительно
прямой (касательной) y = 0 и решается применением тео-
ремы 7.1.4.

                      § 7.3. Асимптоты
    Определение.      Пусть функция f определена на
(a, +∞). Прямая y = kx + l называется асимптотой (или
наклонной асимптотой) графика функции f при x → +∞,
если
          f (x) = kx + l + o(1) при x → +∞.
Аналогично определяется (наклонная) асимптота при x →
→ −∞.

Страницы