Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

104 Глава 7. Исследование поведения функций
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность. При a < α <
< x < β < b имеем, используя (1) и формулу конечных
приращений Лагранжа
f(x) − l
α,β
=
(β − x)f
0
(ξ)(x − a) + (x − α)f
0
(η)(x − β)
β − α
=
=
(x − α)(β − x)f
00
(ζ)(ξ − η)
β − α
> 0 (> 0 при f
00
(ξ) > 0),
где a < α < ξ < ζ < η < β < b.
Отсюда с ледует достаточность в утверждении теоремы
1
◦
и утверждение 2
◦
.
Упражнение 2. Доказать необходимость условия 1
◦
.
Можно использовать при этом анализ расположения кривой
относительно касательной, который будет приведен ниже.
Определение. Точка x
0
называется точкой перегиба
функции f , а точка (x
0
, f(x
0
)) — точкой перегиба графика
функции f, если
1.
◦
∃f
0
(x
0
) (конечная или бесконечная);
2.
◦
точка x
0
является концом интервала строгой выпу-
клости вверх и концом интервала строгой выпукло-
сти вниз.
Напомним, что при выполнении условия 1
◦
функция f
непрерывна в точке x
0
.
Теорема 2 (необходимые условия точки пере-
гиба). Пусть x
0
— точка перегиба функции и f
00
не-
прерывна в точке x
0
. Тогда f
00
(x
0
) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. До-
пустим, что f
00
(x
0
) = 0 и для определенности f
00
(x
0
) > 0.
Тогда f
00
(x
0
) > 0 в некоторой окрестности U(x
0
). По пре-
дыдущей теореме, точка x
0
находится внутри интервала
U(x) строгой выпуклости вниз и не может быть точкой пе-
региба.
104           Глава 7. Исследование поведения функций

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность. При a < α <
< x < β < b имеем, используя (1) и формулу конечных
приращений Лагранжа
                  (β − x)f 0 (ξ)(x − a) + (x − α)f 0 (η)(x − β)
 f (x) − lα,β =                                                 =
                                      β−α
          (x − α)(β − x)f 00 (ζ)(ξ − η)
      =                                 >0   (> 0 при f 00 (ξ) > 0),
                    β−α
где a < α < ξ < ζ < η < β < b.
    Отсюда следует достаточность в утверждении теоремы
1◦ и утверждение 2◦ .
    Упражнение 2. Доказать необходимость условия 1◦ .
Можно использовать при этом анализ расположения кривой
относительно касательной, который будет приведен ниже.
   Определение. Точка x0 называется точкой перегиба
функции f , а точка (x0 , f (x0 )) — точкой перегиба графика
функции f , если
   1.◦ ∃ f 0 (x0 ) (конечная или бесконечная);
   2.◦ точка x0 является концом интервала строгой выпу-
       клости вверх и концом интервала строгой выпукло-
       сти вниз.
   Напомним, что при выполнении условия 1◦ функция f
непрерывна в точке x0 .

   Теорема 2 (необходимые условия точки пере-
гиба).   Пусть x0 — точка перегиба функции и f 00 не-
прерывна в точке x0 . Тогда f 00 (x0 ) = 0.
    Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. До-
пустим, что f 00 (x0 ) = 0 и для определенности f 00 (x0 ) > 0.
Тогда f 00 (x0 ) > 0 в некоторой окрестности U (x0 ). По пре-
дыдущей теореме, точка x0 находится внутри интервала
U (x) строгой выпуклости вниз и не может быть точкой пе-
региба.

Страницы