Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 103 стр.

             § 7.2. Выпуклость и точки перегиба                103

строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интер-
вале (a, b).
    Интервал (a, b) называется при этом соответственно ин-
тервалом выпуклости вверх, выпуклости вниз, строгой
выпуклости вверх, строгой выпуклости вниз функции f .
    Условие выпуклости вверх можно записать в виде
                    β−x                   x−α
f (x)−l(α, β)(x) =         (f (x)−f (α))+         (f (x)−f (β)) > 0
                    β−α                   β−α
                                                                (1)
и в виде
                  f (x) − f (α)   f (β) − f (x)
                                >               .
                      x−α             β−x
    Последнее неравенство является соотношением между
угловыми коэффициентами двух различных хорд с концами
в точке (x, f (x)).
    Упражнение 1. Сравнивая угловые коэффициенты
различных хорд с концами в точке (x0 , f (x0 )), показать,
что на интервале выпуклости вверх функция f непрерывна
и в каждой точке имеет обе односторонние производные, а
множество точек, в которых она не имеет производную, не
более чем счетно.
    Пример функции f (x) = 1 − |x|, x ∈ (−1, 1), показывает,
что производная не обязана существовать во всех точках
интервала выпуклости вверх.
    З а м е ч а н и е. Нередко функцию, выпуклую вниз,
называют выпуклой, а выпуклую вверх — вогнутой.
   Теорема 1 (условия выпуклости функций).
Пусть функция f имеет вторую производную f 00 на (a, b).
Тогда
   1.◦ условие f 00 6 0 на (a, b) необходимо и достаточно для
       выпуклости вверх функции f на (a, b);
   2.◦ если f 00 < 0 на (a, b), то функция f строго выпукла
       вверх на (a, b).