Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

102 Глава 7. Исследование поведения функций
Будем считать
˚
U(x
0
) столь малой, что |ε(x − x
0
)| 6
6
1
2
f
(n)
(x
0
)
n!
. Тогда знак квадратной скобки [ . . .] со-
впадает со знаком f
(n)
(x
0
), так что sgn(f(x) − f(x
0
)) =
= sgn f
(n)
(x
0
) sgn(x−x
0
)
n
. Сохранение или изменение знака
(x −x
0
)
n
при переходе через x
0
зависит от четности n. От-
сюда можно сделать вывод о знаке f(x)−f(x
0
) в
˚
U(x
0
), что
и приводит к утверждению теоремы.
Следствие 1. При f
0
(x
0
) > 0 x
0
— точка возрастания,
при f
0
(x
0
) < 0 x
0
— точка убывания функции f.
Следствие 2. Пусть f
0
(x
0
) = 0. Тогда при f
00
(x
0
) > 0
x
0
— точка строгого минимума, при f
00
(x
0
) < 0 x
0
— точка
строгого максимума функции f.
З а м е ч а н и е. В задаче о нахождении наиболь-
шего (или наименьшего) значения функции f: [a, b] → R с
помощью доказанных теорем можно найти точки экстре-
мума, лежащие лишь на интервале (a, b). После этого сле-
дует сравнить значения функции f в них со значениями
f(a), f(b).
§ 7.2. Выпуклость и точки перегиба
Пусть функция f определена на (a, b). Для каждого от-
резка [α, β] ⊂ (a, b) построим хорду графика f, соединяю-
щую точки (α, f(α)) и (β, f(β)). Пусть ее уравнение
y = l
α,β
(x), x ∈ [α, β], где l
α,β
=
β − x
β − α
f(α) +
x − α
β − α
f(β).
Определение. Функция f называется выпуклой вверх
(выпуклой вниз) на (a, b), если для любых α, β, x: a < α <
< x < β < b f(x) > l
α,β
(x) (соответственно f(x) 6 l
α,β
(x))
при x ∈ (α, β).
Если же вместо нестрогих неравенств в последне й
строчке можно написать строгие, то функция f называется
102           Глава 7. Исследование поведения функций

      Будем считать Ů (x0 ) столь малой, что |ε(x − x0 )| 6
     f (n) (x0 )
6 21     n!      .   Тогда знак квадратной скобки [ . . .] со-
впадает со знаком f (n) (x0 ), так что sgn(f (x) − f (x0 )) =
= sgn f (n) (x0 ) sgn(x−x0 )n . Сохранение или изменение знака
(x − x0 )n при переходе через x0 зависит от четности n. От-
сюда можно сделать вывод о знаке f (x)−f (x0 ) в Ů (x0 ), что
и приводит к утверждению теоремы.
   Следствие 1. При f 0 (x0 ) > 0 x0 — точка возрастания,
при f 0 (x0 ) < 0 x0 — точка убывания функции f .

   Следствие 2. Пусть f 0 (x0 ) = 0. Тогда при f 00 (x0 ) > 0
x0 — точка строгого минимума, при f 00 (x0 ) < 0 x0 — точка
строгого максимума функции f .
    З а м е ч а н и е. В задаче о нахождении наиболь-
шего (или наименьшего) значения функции f : [a, b] → R с
помощью доказанных теорем можно найти точки экстре-
мума, лежащие лишь на интервале (a, b). После этого сле-
дует сравнить значения функции f в них со значениями
f (a), f (b).

          § 7.2. Выпуклость и точки перегиба
   Пусть функция f определена на (a, b). Для каждого от-
резка [α, β] ⊂ (a, b) построим хорду графика f , соединяю-
щую точки (α, f (α)) и (β, f (β)). Пусть ее уравнение
                                      β−x         x−α
 y = lα,β (x), x ∈ [α, β], где lα,β =     f (α) +     f (β).
                                      β−α         β−α
   Определение. Функция f называется выпуклой вверх
(выпуклой вниз) на (a, b), если для любых α, β, x: a < α <
< x < β < b f (x) > lα,β (x) (соответственно f (x) 6 lα,β (x))
при x ∈ (α, β).
   Если же вместо нестрогих неравенств в последней
строчке можно написать строгие, то функция f называется

Страницы