Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

100 Глава 7. Исследование поведения функций
Поскольку определение точки максимума связано с по-
ведением функции в сколь угодно малой окрестности этой
точки, часто вместо термина «максимум» употре бляют
термин «локальный максимум». Аналогично объясняются
термины «локальный минимум», «строгий локальный мак-
симум (минимум)», «локальный экстремум», «строгий ло-
кальный экстремум».
Теорема 2 (Ферма) (необходимые условия экс-
тремума). Пусть x
0
— точка экстремума функции f. То-
гда производная f
0
(x
0
) либо не существует, либо f
0
(x
0
) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о было приведено в §6.1
Условие f
0
(x
0
) не является достаточным для точки экс-
тремума, как видно на примере функции f(x) = x
3
, x
0
= 0.
Теорема 3 (достаточные условия строгого экс-
тремума). Пусть f непрерывна в точке x
0
и диффе-
ренцируема на
˚
U(x
0
). Пусть f
0
меняет знак при переходе
через точку x
0
. Тогда x
0
— точка строгого экс тремума.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности f
0
>
> 0 в U(x
0
− 0), f
0
< 0 в U(x
0
+ 0). Тогда из формулы
конечных приращений Лагранжа f(x) − f(x
0
) = f
0
(ξ)(x −
−x
0
) видно, что приращение функции f меняет знак с «−»
на «+» при переходе через точку x
0
. Следовательно, x
0
является точкой строгого максимума.
Условия теоремы не являются необходимыми условиями
экстремума, как это видно на примере функции
f(x) =
(
2x
2
+ x
2
sin
1
x
при x 6= 0,
0 при x = 0.
Определение. Точка x
0
называется точкой возраста-
ния (убывания) функции f, если в некоторых полуокрест-
100         Глава 7. Исследование поведения функций

   Поскольку определение точки максимума связано с по-
ведением функции в сколь угодно малой окрестности этой
точки, часто вместо термина «максимум» употребляют
термин «локальный максимум». Аналогично объясняются
термины «локальный минимум», «строгий локальный мак-
симум (минимум)», «локальный экстремум», «строгий ло-
кальный экстремум».

   Теорема 2 (Ферма) (необходимые условия экс-
тремума). Пусть x0 — точка экстремума функции f . То-
гда производная f 0 (x0 ) либо не существует, либо f 0 (x0 ) = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о было приведено в § 6.1
   Условие f 0 (x0 ) не является достаточным для точки экс-
тремума, как видно на примере функции f (x) = x3 , x0 = 0.

   Теорема 3 (достаточные условия строгого экс-
тремума).       Пусть f непрерывна в точке x0 и диффе-
ренцируема на Ů (x0 ). Пусть f 0 меняет знак при переходе
через точку x0 . Тогда x0 — точка строгого экстремума.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности f 0 >
> 0 в U (x0 − 0), f 0 < 0 в U (x0 + 0). Тогда из формулы
конечных приращений Лагранжа f (x) − f (x0 ) = f 0 (ξ)(x −
− x0 ) видно, что приращение функции f меняет знак с «−»
на «+» при переходе через точку x0 . Следовательно, x0
является точкой строгого максимума.
   Условия теоремы не являются необходимыми условиями
экстремума, как это видно на примере функции

                       2x2 + x2 sin x1 при x 6= 0,
                     (
            f (x) =
                       0                при x = 0.

   Определение. Точка x0 называется точкой возраста-
ния (убывания) функции f , если в некоторых полуокрест-

Страницы