Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 7
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
§ 7.1. Монотонность и экстремумы функции
Теорема 1. Пусть f дифференцируема на (a, b). Тогда
1.
◦
условие f
0
> 0 (f
0
6 0) на (a, b) необходимо и доста-
точно для того, чтобы функция f возрастала (убы-
вала) на (a, b);
2.
◦
условие f
0
> 0 (f
0
< 0) на (a, b) достаточно, чтобы
функция f строго возрастала (строго убывала) на
(a, b).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из
формулы конечных приращений Лагранжа
f(x
2
) −f(x
1
) = f
0
(ξ)(x
2
− x
1
), a < x
1
< ξ < x
2
< b.
Необходимость. Пусть f возрастает на (a, b), x
0
, x ∈
∈ (a, b). Тогда
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
> 0. Следовательно, f
0
(x
0
) > 0.
Заметим, что условие f
0
> 0 на (a, b) не является необ-
ходимым для строгого возрастания функции f на (a, b), как
это видно на примере f(x) = x
3
, x ∈ (−1, 1).
Определение. Точка x
0
называется точкой макси-
мума (минимума) функции f, если на некоторой окрестно-
сти U(x
0
) функция f определена и
f(x) 6 f(x
0
) (f(x) > f(x
0
)) ∀x ∈
˚
U(x
0
).
Если при этом нестрогие неравенства можно заменить
на строгие, точка x
0
называется точкой строгого макси-
мума (строгого минимума) функции f.
Точки максимума (строгого максимума) и точки мини-
мума (строгого минимума) называются точками экстре-
мума (строгого экстремума).
            Глава 7
    ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
           ФУНКЦИЙ

  § 7.1. Монотонность и экстремумы функции
   Теорема 1. Пусть f дифференцируема на (a, b). Тогда
   1.◦ условие f 0 > 0 (f 0 6 0) на (a, b) необходимо и доста-
       точно для того, чтобы функция f возрастала (убы-
       вала) на (a, b);
   2.◦ условие f 0 > 0 (f 0 < 0) на (a, b) достаточно, чтобы
       функция f строго возрастала (строго убывала) на
       (a, b).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из
формулы конечных приращений Лагранжа
   f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ),   a < x1 < ξ < x2 < b.
   Необходимость. Пусть f возрастает на (a, b), x0 , x ∈
                  f (x) − f (x )
∈ (a, b). Тогда   x − x0
                         0
                           > 0. Следовательно, f 0 (x0 ) > 0.
   Заметим, что условие f 0 > 0 на (a, b) не является необ-
ходимым для строгого возрастания функции f на (a, b), как
это видно на примере f (x) = x3 , x ∈ (−1, 1).
   Определение. Точка x0 называется точкой макси-
мума (минимума) функции f , если на некоторой окрестно-
сти U (x0 ) функция f определена и
         f (x) 6 f (x0 )   (f (x) > f (x0 )) ∀ x ∈ Ů (x0 ).

   Если при этом нестрогие неравенства можно заменить
на строгие, точка x0 называется точкой строгого макси-
мума (строгого минимума) функции f .
   Точки максимума (строгого максимума) и точки мини-
мума (строгого минимума) называются точками экстре-
мума (строгого экстремума).

Страницы