Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 97
где η = η(ε) = η(A, ε) > 0 при x ∈ U
δ
(a + 0).
При этом при фиксированном A можно η(ε) взять сколь
угодно малым, если предварительно взять достаточно ма-
лым ε > 0. Следовательно, lim
x→a+0
f(x)
g(x)
= A.
Теорема доказана.
В качестве некоторого пояснения к ее доказательству
покажем, как выбрать η(A, ε) в зависимости от ε. Остано-
вимся лишь на случае 0 < A < +∞. Тогда второй множи-
тель правой части лежит в (A −ε, A + ε), а первый (как мы
видели) в (1 − 4ε, 1 + 2ε). Следовательно, их произведение
лежит в интервале
(A − 4Aε − ε + 4ε
2
, A + 2Aε + ε + 2ε
2
) ⊂ U
η
(A),
где η = η(A, ε) = max{4Aε − ε + 4ε
2
, 2Aε + ε + 2ε
2
}.
З а м е ч а н и е. Теоремы 1–3 остаются в силе в
случаях предельных переходов x → a + 0, x → a −0, x → a,
x → +∞, x → −∞ с соответствующими изменениями их
формулировок.
Пример 1. Найти lim
x→+∞
ln x
x
ε
, ε > 0. Имеем
lim
x→+∞
ln x
x
ε
= lim
x→+∞
1
x
εx
ε−1
= lim
x→+∞
1
εx
ε
= 0.
Здесь первое равенство написано при условии, что пре-
дел правой части существует и становится оправданным
после доказательства существования этого предела.
Пример 2. Найти lim
x→+∞
x
n
a
x
, n ∈ N, a > 1. Имеем
lim
x→+∞
x
n
a
x
= lim
x→+∞
nx
n−1
a
x
ln a
= lim
x→+∞
n(n − 1)x
n−2
a
x
ln
2
a
= . . .
= lim
x→+∞
n!
a
x
ln
n
a
= 0.
Теоремы 1–3 дают достаточные условия раскрытия не-
определенностей. Эти условия не являются необходимыми.
  § 6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя    97

где η = η(ε) = η(A, ε) > 0 при x ∈ Uδ (a + 0).
   При этом при фиксированном A можно η(ε) взять сколь
угодно малым, если предварительно взять достаточно ма-
                                    f (x)
лым ε > 0. Следовательно, lim g(x) = A.
                             x→a+0
   Теорема доказана.
   В качестве некоторого пояснения к ее доказательству
покажем, как выбрать η(A, ε) в зависимости от ε. Остано-
вимся лишь на случае 0 < A < +∞. Тогда второй множи-
тель правой части лежит в (A − ε, A + ε), а первый (как мы
видели) в (1 − 4ε, 1 + 2ε). Следовательно, их произведение
лежит в интервале
       (A − 4Aε − ε + 4ε2 , A + 2Aε + ε + 2ε2 ) ⊂ Uη (A),
где η = η(A, ε) = max{4Aε − ε + 4ε2 , 2Aε + ε + 2ε2 }.
   З а м е ч а н и е. Теоремы 1–3 остаются в силе в
случаях предельных переходов x → a + 0, x → a − 0, x → a,
x → +∞, x → −∞ с соответствующими изменениями их
формулировок.
   Пример 1. Найти lim ln      x
                             xε , ε > 0. Имеем
                         x→+∞
                                1
              ln x          x            1
         lim    ε
                   = lim    ε−1
                                = lim       = 0.
        x→+∞ x      x→+∞ εx       x→+∞ εxε

   Здесь первое равенство написано при условии, что пре-
дел правой части существует и становится оправданным
после доказательства существования этого предела.
                             n
   Пример 2. Найти lim xax , n ∈ N, a > 1. Имеем
                         x→+∞

       xn           nxn−1      n(n − 1)xn−2
 lim        = lim           = lim           = ...
x→+∞ ax    x→+∞ ax ln a  x→+∞     ax ln2 a
                                              n!
                                    = lim x n = 0.
                                       x→+∞ a ln a

   Теоремы 1–3 дают достаточные условия раскрытия не-
определенностей. Эти условия не являются необходимыми.

Страницы