Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 95
Пусть lim
x→a+0
f
0
(x)
g
0
(x)
= A ∈ R, ε > 0 — произвольное. Тогда
∃δ = δ(ε) > 0, δ < b − a :
f(x)
g(x)
=
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
∈ U
ε
(A)
при a < x < a + δ < b.
Следовательно, lim
x→a+0
f(x)
g(x)
= A.
Теорема 2. Пусть функции f, g
1.
◦
дифференцируемы при x > c > 0;
2.
◦
g
0
6= 0 на (c, +∞);
3.
◦
существует lim
x→+∞
f
0
(x)
g
0
(x)
∈ R.
Тогда
∃ lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= lim
x→+∞
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim
x→+∞
f
0
(x) = A ∈ R.
Рассмотрим сложные функции f
1
t
, g
1
t
при t ∈
0,
1
c
.
Тогда
lim
t→0+0
d
dt
f
1
t
d
dt
g
1
t
= lim
t→0+0
f
0
1
t
−
1
t
2
g
0
1
t
−
1
t
2
= A.
По теореме 1 ∃ lim
t→0+0
f
1
t
g
1
t
= A.
Отсюда следует, что ∃ lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= A. Заметим, что
в приведенном доказательстве было два раза использовано
свойство предельного перехода в суперпозиции, причем в
ситуации, не рассмотренной в §4.2. Читателю предлага-
ется обосновать соответствующие предельные переходы в
качестве упражнения.
Теорема 3. Пусть функции f, g
1.
◦
дифференцируемы на интервале (a, b), b − a < ∞;
  § 6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя     95

             f 0 (x)
Пусть lim g 0 (x) = A ∈ R, ε > 0 — произвольное. Тогда
     x→a+0
                                   f (x)  f 0 (ξ)
    ∃ δ = δ(ε) > 0,    δ  c > 0;
   2.◦ g 0 6= 0 на (c, +∞);
                         f 0 (x)
   3.◦ существует lim g 0 (x) ∈ R.
                 x→+∞
Тогда
                     f (x)         f 0 (x)
               ∃ lim        = lim 0        .
                x→+∞ g(x)     x→+∞ g (x)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim f 0 (x) = A ∈ R.
                                      x→+∞
                                                     
Рассмотрим сложные функции f 1t , g 1t при t ∈ 0, 1c .
Тогда
                                           
                d f 1              f 0 1   − 1
                dt     t               t     t2
          lim          = lim                = A.
        t→0+0 d       1      t→0+0 0 1       1
                dt g  t            g   t   −  2
                                            t
                      
                    f 1t
По теореме 1 ∃ lim   = A.
              t→0+0 g 1
                      t
                                   f (x)
   Отсюда следует, что ∃ lim g(x) = A. Заметим, что
                          x→+∞
в приведенном доказательстве было два раза использовано
свойство предельного перехода в суперпозиции, причем в
ситуации, не рассмотренной в § 4.2. Читателю предлага-
ется обосновать соответствующие предельные переходы в
качестве упражнения.
   Теорема 3. Пусть функции f , g
   1.◦ дифференцируемы на интервале (a, b), b − a < ∞;

Страницы