Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6.2. Формула Тейлора 93
3.
◦
f(x) = cos x, x
0
= 0. Аналогично разложению для
sin x получаем
cos x = 1−x+
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+ . . .+(−1)
n
x
2n
(2n)!
+o(x
2n+1
)
при x → 0.
4.
◦
f(x) = ln(1 + x), x
0
= 0. Имеем
f
0
(x) =
1
1 + x
= (1 + x)
−1
,
f
(k)
(x) = (−1)
k−1
(k −1)!(1 + x)
−k
,
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ . . . + (−1)
n−1
x
n
n
+ r
n
(x),
r
n
(x) =
(−1)
n
n + 1
x
n+1
(1 + θx)
n+1
= o(x
n
) при x → 0.
5.
◦
f(x) = (1 + x)
α
, x
0
= 0, α ∈ R. Имеем
f
(k)
(x) = α(α − 1) . . .(α − k + 1)(1 + x)
α−k
,
(1 + x)
α
= 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x
2
+
α(α − 1)(α − 2)
3!
x
3
+ . . .
+
α(α − 1) . . .(α − n + 1)
n!
x
n
+ o(x
n
) при x → 0,
где 0 < θ < 1.
Упражнение 2. Получить формулу бинома Ньютона
(1 + x)
n
=
n
X
k=0
C
k
n
x
k
=
n
X
k=0
n!
k!(n − k)!
x
k
,
используя разложение (1 + x)
n
по формуле Тейлора с оста-
точным членом в форме Лагранжа (или в форме Пеано и
теорему единственности).
Упражнение 3. Найти
lim
x→0
e
x
− e
−x
− 2x
x − sin x
, lim
x→0
1
x
2
−
1
sin
2
x
,
используя разложения по формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано.
                    § 6.2. Формула Тейлора                      93

    3.◦ f (x) = cos x, x0 = 0. Аналогично разложению для
        sin x получаем
                      x2 x4 x6             x2n
       cos x = 1−x+     + − + . . .+(−1)n       +o(x2n+1 )
                      2! 4! 6!            (2n)!
        при x → 0.
    4.◦ f (x) = ln(1 + x), x0 = 0. Имеем
                                    1
                         f 0 (x) =     = (1 + x)−1 ,
                                   1+x
                  f (k) (x) = (−1)k−1 (k − 1)!(1 + x)−k ,
                           x2 x3                      xn
        ln(1 + x) = x −       +    + . . . + (−1)n−1     + rn (x),
                           2     3                     n
                     (−1)n      xn+1
            rn (x) =                       = o(xn ) при x → 0.
                     n + 1 (1 + θx)n+1
    5.◦ f (x) = (1 + x)α , x0 = 0, α ∈ R. Имеем
         f (k) (x) = α(α − 1) . . .(α − k + 1)(1 + x)α−k ,
                       α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
(1 + x)α = 1 + αx +                x +                    x + ...
                           2!                  3!
                  α(α − 1) . . .(α − n + 1) n
               +                           x + o(xn ) при x → 0,
                              n!
       где 0 < θ < 1.
    Упражнение 2. Получить формулу бинома Ньютона
                         n             n
                        X             X       n!
            (1 + x)n =       Cnk xk =                xk ,
                                          k!(n − k)!
                       k=0          k=0
используя разложение (1 + x)n по формуле Тейлора с оста-
точным членом в форме Лагранжа (или в форме Пеано и
теорему единственности).
   Упражнение 3. Найти
            ex − e−x − 2x
                                              
                                    1      1
        lim               ,   lim     −          ,
        x→0    x − sin x      x→0 x2    sin2 x
используя разложения по формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано.

Страницы