Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6.2. Формула Тейлора 91
Теорема доказана.
Теорема 3 (единственности). Пусть в
˚
U(x
0
)
f(x) = a
0
+ a
1
(x − x
0
) + . . . + a
n
(x − x
0
)
n
+ o((x − x
0
)
n
),
f(x) = b
0
+ b
1
(x − x
0
) + . . . + b
n
(x − x
0
)
n
+ o((x − x
0
)
n
)
при x → x
0
.
Тогда a
0
= b
0
, a
1
= b
1
, . . . , a
n
= b
n
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая почленно одно пред-
ставление функции f из другого, видим, что достаточно
доказать, что из
c
0
+ c
1
(x −x
0
) + . . . + c
n
(x −x
0
)
n
= o((x −x
0
)
n
) при x → x
0
(2)
следует, что c
0
= c
1
= . . . = c
n
= 0.
Переходя в равенстве (2) к пределу при x → x
0
, полу-
чаем, что c
0
= 0. Учитывая это, поделим (2) почленно на
(x − x
0
). Получим для x ∈
˚
U(x
0
)
c
1
+c
2
(x−x
0
)+ . . .+c
n
(x−x
0
)
n−1
= o((x−x
0
)
n−1
) при x → x
0
.
Переходя в этом равенстве к пределу при x → x
0
, получаем,
что c
1
= 0.
Учитывая это и деля последнее равенство на x − x
0
,
после перехода к пределу получаем, что c
2
= 0. Поступая
так же и дальше, приходим к равенству c
0
= c
1
= . . . =
= c
n
= 0, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть ∃f
(n)
(x
0
) и
f(x) = a
0
+ a
1
(x − x
0
) + . . . + a
n
(x − x
0
)
n
=
o((x − x
0
)
n
), при x → x
0
.
(3)
Тогда (3) является разложением f по формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано.
                     § 6.2. Формула Тейлора                           91

    Теорема доказана.

    Теорема 3 (единственности). Пусть в Ů (x0 )
 f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + . . . + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ),
 f (x) = b0 + b1 (x − x0 ) + . . . + bn (x − x0 )n + o((x − x0 )n )
                      при x → x0 .
Тогда a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая почленно одно пред-
ставление функции f из другого, видим, что достаточно
доказать, что из
c0 + c1 (x − x0 ) + . . . + cn (x − x0 )n = o((x − x0 )n ) при x → x0
                                                                  (2)
следует, что c0 = c1 = . . . = cn = 0.
    Переходя в равенстве (2) к пределу при x → x0 , полу-
чаем, что c0 = 0. Учитывая это, поделим (2) почленно на
(x − x0 ). Получим для x ∈ Ů (x0 )
c1 +c2 (x−x0 )+ . . .+cn (x−x0 )n−1 = o((x−x0 )n−1 ) при x → x0 .
Переходя в этом равенстве к пределу при x → x0 , получаем,
что c1 = 0.
   Учитывая это и деля последнее равенство на x − x0 ,
после перехода к пределу получаем, что c2 = 0. Поступая
так же и дальше, приходим к равенству c0 = c1 = . . . =
= cn = 0, что и требовалось доказать.

    Следствие. Пусть ∃ f (n) (x0 ) и
         f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + . . . + an (x − x0 )n =
                                                                  (3)
                  o((x − x0 )n ),   при x → x0 .
Тогда (3) является разложением f по формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано.

Страницы