Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6.2. Формула Тейлора 89
которое называется формулой Тейлора функции f в точке
x
0
. При этом
f
(k)
(x
0
)
k!
(x −x
0
)
k
называется k-м членом фор-
мулы Тейлора, P
n
(f, x) — многочленом Тейлора, r
n
(f, x) —
остаточным членом формулы Тейлора (после n-го члена).
Часто вместо P
n
(f, x), r
n
(f, x) пишут соответственно
P
n
(x), r
n
(x).
Лемма. Пусть ∃f
(n)
(x
0
), ∃f
0
в
˚
U(x
0
). Тогда в
˚
U(x
0
)
(r
n
(f, x))
0
= r
n−1
(f
0
, x).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
(r
n
(f, x))
0
=
f(x) −
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x −x
0
)
k
!
0
=
= f
0
(x) −
n
X
k=1
f
(k)
(x
0
)
(k − 1)!
(x − x
0
)
k−1
= r
n−1
(f
0
, x).
Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Пеано). Пусть n ∈ N и ∃f
(n)
(x
0
). Тогда
справедлива формула (1), в которой r
n
(f, x) = o((x − x
0
)
n
)
при x → x
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции.
При n = 1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в
этом случае функция f дифференцируема в точке x
0
. Сле-
довательно,
f(x) − f(x
0
) = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
), x → x
0
,
что совпадает с утверждением теоремы.
Предположим, что утверждение теоремы верно при n −
− 1 (> 1) вместо n и покажем, что оно верно тогда в при-
веденной форме. Используя теорему Лагранжа о конечных
приращениях и лемму, имеем (считая, для определенности,
x > x
0
)
r
n
(f, x) = r
n
(f, x) − r
n
(f, x
0
) = r
n−1
(f
0
, ξ)(x −x
0
),
                      § 6.2. Формула Тейлора                                   89

которое называется формулой Тейлора функции f в точке
                 f (k) (x )
x0 . При этом    k!
                    0
                      (x − x0 )k называется k-м членом фор-
мулы Тейлора, Pn (f, x) — многочленом Тейлора, rn (f, x) —
остаточным членом формулы Тейлора (после n-го члена).
     Часто вместо Pn (f, x), rn (f, x) пишут соответственно
Pn (x), rn (x).
   Лемма. Пусть ∃ f (n) (x0 ), ∃ f 0 в Ů (x0 ). Тогда в Ů (x0 )
                      (rn (f, x))0 = rn−1 (f 0 , x).

   Д о к а з а т е л ь с т в о.
                              n
                                                           !0
          0
                              X f (k) (x0 )            k
(rn (f, x)) =    f (x) −                      (x − x0 )         =
                                      k!
                              k=0
                                n
                               X     f (k) (x0 )
                = f 0 (x) −                      (x − x0 )k−1 = rn−1 (f 0 , x).
                                     (k − 1)!
                               k=1

   Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Пеано). Пусть n ∈ N и ∃ f (n) (x0 ). Тогда
справедлива формула (1), в которой rn (f, x) = o((x − x0 )n )
при x → x0 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции.
При n = 1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в
этом случае функция f дифференцируема в точке x0 . Сле-
довательно,
    f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),              x → x0 ,
что совпадает с утверждением теоремы.
   Предположим, что утверждение теоремы верно при n −
− 1 (> 1) вместо n и покажем, что оно верно тогда в при-
веденной форме. Используя теорему Лагранжа о конечных
приращениях и лемму, имеем (считая, для определенности,
x > x0 )
     rn (f, x) = rn (f, x) − rn (f, x0 ) = rn−1 (f 0 , ξ)(x − x0 ),

Страницы