Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 87 стр.

                   § 6.1. Теоремы о среднем                     87

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства построим
вспомогательную функцию F (x) = f (x) − λx, в которой
число λ выберем так, чтобы F удовлетворяла условию 3◦
теоремы Ролля: F (a) = F (b).
   Отсюда
                                   f (b) − f (a)
       f (a) − λa = f (b) − λb, т. е. λ =        .
                                       b−a
Очевидно, для F выполнены и условия 1◦ , 2◦ теоремы
Ролля. По теореме Ролля для функции F получаем, что
      ∃ ξ ∈ (a, b) : F 0 (ξ) = 0,    т. е.   f 0 (ξ) − λ = 0,
         f (b) − f (a)
где λ =   b−a            . Отсюда и следует утверждение тео-
ремы Лагранжа.
   Формулу
           f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a),   ξ ∈ (a, b),
называют формулой конечных приращений Лагранжа. Пе-
репишем ее в виде
                         f (b) − f (a)
              f 0 (ξ) =                , ξ ∈ (a, b),
                             b−a
с помощью которого легко усмотреть геометрический
смысл утверждения теоремы Лагранжа: найдется точка
ξ ∈ (a, b) такая, что касательная к графику функции f
в точке (ξ, f (ξ)) параллельна хорде, соединяющей точки
(a, f (a)) и (b, f (b)).
    Упражнение 1. Доказать, что если ∃ lim f 0 (x), то
                                                    x→x0
∃ f 0 (x0 ) = lim f 0 (x). Каков аналог для односторонних пре-
          x→x0
делов? Может ли производная f 0 иметь скачок?
   Теорема 4 (Коши). Пусть функции f, g:
   1.◦ непрерывны на [a, b];
   2.◦ дифференцируемы на (a, b);
   3.◦ g 0 6= 0 на (a, b).