Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 86 стр.

           Глава 6
СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
         ФУНКЦИЙ

                      § 6.1. Теоремы о среднем
      Теорема 1 (Ферма). Пусть функция f определена на
U (x0 ) и в точке x0 принимает наибольшее или наименьшее
значение среди ее значений на U (x0 ). Пусть ∃ f 0 (x0 ). Тогда
f 0 (x0 ) = 0.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности
f (x0 ) = min f . Тогда ∆f  ∆x > 0 при ∆x > 0 и ∆x 6 0
                                                       ∆f
            U (x0 )
при ∆x < 0. Переходя в этих неравенствах к пределу при
∆x → 0, получаем соответственно f 0 (x0 ) > 0, f 0 (x0 ) 6 0.
Отсюда следует, что f 0 (x0 ) = 0.
   Теорема 2 (Ролля). Пусть функция f :
    1.◦ непрерывна на [a, b];
    2.◦ дифференцируема на (a, b);
    3.◦ f (a) = f (b).
Тогда ∃ ξ ∈ (a, b): f 0 (ξ) = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай f ≡ const тривиален.
Будем считать далее, что f 6≡ const. По теореме Вейер-
штрасса в некоторых точках отрезка [a, b] функция f при-
нимает максимальное и минимальное значения. По край-
ней мере, одна из этих точек лежит на интервале (a, b), так
как min f < max f . Но тогда по теореме Ферма производная
    [a,b]        [a,b]
f 0 в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.
   Теорема 3 (Лагранжа). Пусть функция f :
   1.◦ непрерывна на [a, b],
   2.◦ дифференцируема на (a, b).
Тогда ∃ ξ ∈ (a, b): f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).