Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 5. Производные и дифференциалы
является функцией аргумента x (помимо этого дифферен-
циал является линейной функцией аргумента dx, но в дан-
ном случае будем считать dx фиксированным). Если f
0
дифференцируема в точке x
0
(т. е. ∃f
00
(x
0
)), то можно рас-
смотреть дифференциал от df(x), т. е. δ(df(x)). Этот диф-
ференциал обозначается новым символом δ, чтобы отли-
чить его от ранее построенного дифф е ренциала df. Соот-
ветственно дифференциал независимого переменного в вы-
ражении дифференциала δ будем обозначать через δx.
Определение. Вторым дифференциалом функции f в
точке x
0
называется
d
2
f(x
0
) B δ(df)(x
0
)
δx=dx
= δ(f
0
(x) dx)(x
0
)
δx=dx
=
= (f
0
(x) dx)
0
(x
0
)δx
δx=dx
= f
00
(x
0
)(dx)
2
.
В этой цепочке равенств содержится не только опреде-
ление второго дифференциала (первое равенство), но и его
выражение через f
00
(x
0
).
Определение. n-м дифференциалом функции f в точке
x
0
называется
d
n
f(x
0
) B δ(d
n−1
f)(x
0
)
δx=dx
.
Легко убеждаемся, применяя метод математической ин-
дукции, что если ∃f
(n)
(x
0
), то
∃d
n
f(x
0
) = f
(n)
(x
0
)(dx)
n
. (1)
Последняя формула при n > 2 (в отличие от n = 1) верна
лишь в случае, когда x — независимая переменная. Пока-
жем это в случае n = 2. Найдем выражение второго диф-
ференциала, считая, что функция y = f(x) дважды диффе-
ренцируема в точке x
0
, а ее аргумент x является дважды
84            Глава 5. Производные и дифференциалы

является функцией аргумента x (помимо этого дифферен-
циал является линейной функцией аргумента dx, но в дан-
ном случае будем считать dx фиксированным). Если f 0
дифференцируема в точке x0 (т. е. ∃ f 00 (x0 )), то можно рас-
смотреть дифференциал от df (x), т. е. δ(df (x)). Этот диф-
ференциал обозначается новым символом δ, чтобы отли-
чить его от ранее построенного дифференциала df . Соот-
ветственно дифференциал независимого переменного в вы-
ражении дифференциала δ будем обозначать через δx.
   Определение. Вторым дифференциалом функции f в
точке x0 называется

d2 f (x0 ) B δ(df )(x0 )           = δ(f 0 (x) dx)(x0 )              =
                           δx=dx                          δx=dx

                           = (f 0 (x) dx)0 (x0 )δx               = f 00 (x0 )(dx)2 .
                                                     δx=dx

   В этой цепочке равенств содержится не только опреде-
ление второго дифференциала (первое равенство), но и его
выражение через f 00 (x0 ).
   Определение. n-м дифференциалом функции f в точке
x0 называется

                  dn f (x0 ) B δ(dn−1 f )(x0 )               .
                                                     δx=dx

   Легко убеждаемся, применяя метод математической ин-
дукции, что если ∃ f (n) (x0 ), то
                     ∃ dn f (x0 ) = f (n) (x0 )(dx)n .                          (1)
Последняя формула при n > 2 (в отличие от n = 1) верна
лишь в случае, когда x — независимая переменная. Пока-
жем это в случае n = 2. Найдем выражение второго диф-
ференциала, считая, что функция y = f (x) дважды диффе-
ренцируема в точке x0 , а ее аргумент x является дважды

Страницы