Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.6. Производные и дифференциалы высших порядков 85
дифференцируемой функцией x = x(t) некоторой независи-
мой переменной t. Имеем
d
2
f(x) = (f(x))
00
tt
(dt)
2
= (f
0
(x)x
0
)
0
t
(dt)
2
=
= (f
00
(x)x
02
+ f
0
(x)x
00
)(dt)
2
= f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x) d
2
x.
Итак, d
2
f(x) = f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x)d
2
x.
Сравнивая полученное выражение с (1) при n = 2, убе-
ждаемся, что второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности формы.
Упражнение 1. Используя формулы для производных
(f ± g)
(n)
, (fg)
(n)
, получить с помощью (1) формулы для
дифференциалов d
n
(f ± g), d
n
(fg).
    § 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков                   85

дифференцируемой функцией x = x(t) некоторой независи-
мой переменной t. Имеем
d2 f (x) = (f (x))00tt (dt)2 = (f 0 (x)x0 )0t (dt)2 =
          = (f 00 (x)x02 + f 0 (x)x00 )(dt)2 = f 00 (x)(dx)2 + f 0 (x) d2 x.
   Итак, d2 f (x) = f 00 (x)(dx)2 + f 0 (x)d2 x.
   Сравнивая полученное выражение с (1) при n = 2, убе-
ждаемся, что второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности формы.
   Упражнение 1. Используя формулы для производных
(f ± g)(n) , (f g)(n) , получить с помощью (1) формулы для
дифференциалов dn (f ± g), dn (f g).

Страницы