Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.6. Производные и дифференциалы высших порядков 83
2.
◦
(Формула Лейбница)
∃(fg)
(n)
= f
(n)
g + C
1
n
f
(n−1)
g
(1)
+ . . . + fg
(n)
=
=
n
P
k=0
C
k
n
f
(n−k)
g
(k)
, где C
k
n
=
n!
k!(n − k)!
.
Следствие из формулы Лейбница:
(cf)
(n)
(x
0
) = xf
(n)
(x
0
), если ∃f
(n)
(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о ф ормулы Лейбница проведем по
индукции. В случае n = 1 она была установлена раньше.
В предположении, что она верна для производной порядка
n, установим ее для производной порядка n + 1.
Имеем
(fg)
(n+1)
= ((fg)
(n)
)
0
=
n
X
k=0
C
k
n
f
(n−k)
g
(k)
!
0
=
=
n
X
k=0
C
k
n
f
(n−k+1)
g
(k)
+ f
(n−k)
g
(k+1)
=
=
n
X
k=0
C
k
n
f
(n+1−k)
g
(k)
+
n+1
X
j=1
C
j−1
n
f
(n+1−j)
g
(j)
=
= C
0
n
f
(n+1)
g +
n
X
k=1
(C
k
n
+ C
k−1
n
)f
(n+1−k)
g
(k)
+ C
n
n
f
(0)
g
(n+1)
.
Осталось показать, что C
k
n
+ C
k−1
n
= C
k
n+1
. Имеем
n!
k!(n − k)!
+
n!
(k − 1)!(n − k + 1)!
=
=
n!(n − k + 1 + k)
k!(n − k + 1)!
=
(n + 1)!
k!(n + 1 − k)!
.
Введем теперь понятие дифференциалов высших поряд-
ков.
Если функция f такова, что ее производная f
0
суще-
ствует на некоторой окрестности U(x
0
) точки x
0
, то ее диф-
ференциал
df(x) = f
0
(x) dx, x ∈ U(x
0
),
   § 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков                   83

    2.◦ (Формула Лейбница)
        ∃ (f g)(n) = f (n) g + Cn1 f (n−1) g (1) + . . . + f g (n) =
            n
               Cnk f (n−k) g (k) , где Cnk = k!(nn!− k)! .
           P
        =
          k=0
   Следствие из формулы Лейбница:
            (cf )(n) (x0 ) = xf (n) (x0 ), если ∃ f (n) (x0 ).
    Д о к а з а т е л ь с т в о формулы Лейбница проведем по
индукции. В случае n = 1 она была установлена раньше.
В предположении, что она верна для производной порядка
n, установим ее для производной порядка n + 1.
    Имеем
                               n
                                                  !0
                             X
(f g)(n+1) = ((f g)(n) )0 =      Cnk f (n−k) g (k) =
                               k=0
               n
               X                                       
           =       Cnk f (n−k+1) g (k) + f (n−k) g (k+1) =
              k=0
           Xn                      n+1
                                   X
                  k (n+1−k) (k)
        =      Cn f          g +        Cnj−1 f (n+1−j) g (j) =
           k=0                     j=1
                    Xn
  = Cn0 f (n+1) g +     (Cnk + Cnk−1 )f (n+1−k) g (k) + Cnn f (0) g (n+1) .
                    k=1
   Осталось показать, что Cnk + Cnk−1 = Cn+1        k . Имеем

     n!               n!
          +                         =
k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)!
                            n!(n − k + 1 + k)       (n + 1)!
                       =                      =                 .
                              k!(n − k + 1)!     k!(n + 1 − k)!
   Введем теперь понятие дифференциалов высших поряд-
ков.
   Если функция f такова, что ее производная f 0 суще-
ствует на некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 , то ее диф-
ференциал
               df (x) = f 0 (x) dx, x ∈ U (x0 ),

Страницы