Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.5. Производная сложной функции 81
Покажем это. Пусть, например, функция f: U(y
0
−0) →
→ R имеет одностороннюю производную f
0
−
(y
0
). Доопреде-
лим f на
˚
U(y
0
+ 0), положив
f(y) = f(y
0
) + f
0
−
(y
0
)(y − y
0
) при y > y
0
.
Тогда f : U(y
0
) → R будет иметь обычную производную
f
0
(y
0
) = f
0
−
(y
0
).
Аналогично можно продолжить и функцию ϕ, если она
задана лишь в полуокрестности. После возможных доопре-
делений функций f, ϕ указанным способом, остается лишь
применить к ним теорему 1.
Покажем, как находить производную параметрически
заданной функции, т. е. функции y(x), заданной в виде
(
x = ϕ(t),
y = ψ(t).
Будем считать, что ϕ непрерывна и строго монотонна
на U(t
0
) и что существуют производные ϕ
0
(t
0
), ψ
0
(t
0
). То-
гда t = ϕ
−1
(x
0
), где x
0
= ϕ(t
0
), y = ψ(t) = ψ(ϕ
−1
(x)).
Применяя формулу дифференцирования сложной функции,
получаем
dy
dx
(x
0
) = ψ
0
(t
0
)
1
ϕ
0
(t
0
)
=
ψ
0
(t
0
)
ϕ
0
(t
0
)
.
Рассмотрим теперь неявно заданную функцию. Пусть
задано уравнение F (x, y) = 0, имеющее для каждого x ∈
∈ U (x
0
) решение y = f(x), так что
F (x, f(x)) = 0 ∀x ∈ U(x
0
).
При этом говорят, что функция f неявно задана уравне-
нием F (x, y) = 0.
Предполагая, что f дифференцируема на U(x
0
) и что
левая часть тождества F (x, f(x)) ≡ 0 представляет диф-
ференцируемую функцию, продифференцируем это тожде-
ство почленно. Иногда оказывается (это зависит от вида
            § 5.5. Производная сложной функции               81

   Покажем это. Пусть, например, функция f : U (y0 −0) →
→ R имеет одностороннюю производную f−0 (y0 ). Доопреде-
лим f на Ů (y0 + 0), положив
        f (y) = f (y0 ) + f−0 (y0 )(y − y0 ) при y > y0 .
Тогда f : U (y0 ) → R будет иметь обычную производную
f 0 (y0 ) = f−0 (y0 ).
      Аналогично можно продолжить и функцию ϕ, если она
задана лишь в полуокрестности. После возможных доопре-
делений функций f , ϕ указанным способом, остается лишь
применить к ним теорему 1.
      Покажем, как находить производную параметрически
заданной функции, т. е. функции y(x), заданной в виде
                       (
                        x = ϕ(t),
                        y = ψ(t).
   Будем считать, что ϕ непрерывна и строго монотонна
на U (t0 ) и что существуют производные ϕ0 (t0 ), ψ 0 (t0 ). То-
гда t = ϕ−1 (x0 ), где x0 = ϕ(t0 ), y = ψ(t) = ψ(ϕ−1 (x)).
Применяя формулу дифференцирования сложной функции,
получаем
               dy                     1     ψ 0 (t0 )
                  (x0 ) = ψ 0 (t0 ) 0      = 0        .
               dx                  ϕ (t0 )  ϕ (t0 )
   Рассмотрим теперь неявно заданную функцию. Пусть
задано уравнение F (x, y) = 0, имеющее для каждого x ∈
∈ U (x0 ) решение y = f (x), так что
                 F (x, f (x)) = 0    ∀ x ∈ U (x0 ).
При этом говорят, что функция f неявно задана уравне-
нием F (x, y) = 0.
   Предполагая, что f дифференцируема на U (x0 ) и что
левая часть тождества F (x, f (x)) ≡ 0 представляет диф-
ференцируемую функцию, продифференцируем это тожде-
ство почленно. Иногда оказывается (это зависит от вида

Страницы