Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.5. Производная сложной функции 79
Другое доказательство той же теоремы можно провести
так:
lim
∆y→0
∆x
∆y
∆x=ϕ(∆y)
= lim
∆y→0
1
∆y
∆x
(ϕ(∆y))
=
= lim
∆y→0
1
∆y
∆x
(∆x)
∆x=ϕ(∆y)
= lim
∆x→0
1
∆y
∆x
(∆x)
=
1
f
0
(x
0
)
.
Здесь запись
∆y
∆x
(∆x) означает, что отношение
∆y
∆x
рас-
сматривается как функция ∆x. Принципиально важным
является предпоследнее равенство, которое написано на
основании теоремы о пределе суперпозиции.
§ 5.5. Производная сложной функции
Теорема 1. Пусть ∃f
0
(y
0
), ϕ
0
(x
0
), y
0
= ϕ(x
0
). Тогда
∃(f(ϕ))
0
(x
0
) = f
0
(y
0
)ϕ
0
(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из существования f
0
(x
0
), ϕ
0
(x
0
)
следует, что f, ϕ непрерывны соответственно в точках y
0
,
x
0
. По теореме о непрерывности суперпозиции непрерыв-
ных функций суперпозиция
z = F (x) = f (ϕ(x))
определена в некоторой окрестности U(x
0
) точки x
0
. Из
условий теоремы следует, что приращения функции f и ϕ
представимы в виде
∆z = f
0
(y
0
)∆y + ε(∆y)∆y, ε(∆y) → 0 при ∆y → 0,
∆y = ϕ
0
(x
0
)∆x + ε
1
(∆x)∆x, ε
1
(∆x) → 0 при ∆x → 0.
Доопределим функцию ε в точке 0, положив ε(0) = 0, тогда
первое из этих равенств окажется верным и при ∆y = 0.
Считая, что в первом из этих равенств приращение ∆y
вызвано приращением ∆x, выразим ∆z через ∆x, подста-
вляя ∆y из второго равенства в первое.
∆z = ∆F (x
0
) = f
0
(y
0
)[ϕ
0
(x
0
)∆x + ε
1
(∆x)∆x] + ε(∆y)∆y =
              § 5.5. Производная сложной функции                   79

   Другое доказательство той же теоремы можно провести
так:
             ∆x                       1
         lim              = lim             =
        ∆y→0 ∆y ∆x=ϕ(∆y)    ∆y→0 ∆y (ϕ(∆y))
                                          ∆x
                    1                              1           1
       = lim                         = lim               =          .
         ∆y→0∆y                  ∆x→0 ∆y (∆x)   f 0 (x0 )
             ∆x (∆x) ∆x=ϕ(∆y)          ∆x
                ∆y                              ∆y
   Здесь запись ∆x (∆x) означает, что отношение ∆x   рас-
сматривается как функция ∆x. Принципиально важным
является предпоследнее равенство, которое написано на
основании теоремы о пределе суперпозиции.

        § 5.5. Производная сложной функции
    Теорема 1. Пусть ∃ f 0 (y0 ), ϕ0 (x0 ), y0 = ϕ(x0 ). Тогда
∃ (f (ϕ))0 (x0 ) = f 0 (y0 )ϕ0 (x0 ).
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Из существования f 0 (x0 ), ϕ0 (x0 )
следует, что f , ϕ непрерывны соответственно в точках y0 ,
x0 . По теореме о непрерывности суперпозиции непрерыв-
ных функций суперпозиция
                        z = F (x) = f (ϕ(x))
определена в некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 . Из
условий теоремы следует, что приращения функции f и ϕ
представимы в виде
   ∆z = f 0 (y0 )∆y + ε(∆y)∆y,       ε(∆y) → 0 при ∆y → 0,
          0
  ∆y = ϕ (x0 )∆x + ε1 (∆x)∆x,        ε1 (∆x) → 0 при ∆x → 0.
Доопределим функцию ε в точке 0, положив ε(0) = 0, тогда
первое из этих равенств окажется верным и при ∆y = 0.
   Считая, что в первом из этих равенств приращение ∆y
вызвано приращением ∆x, выразим ∆z через ∆x, подста-
вляя ∆y из второго равенства в первое.
∆z = ∆F (x0 ) = f 0 (y0 )[ϕ0 (x0 )∆x + ε1 (∆x)∆x] + ε(∆y)∆y =

Страницы