Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 77
Доказанная теорема показывает, что касательная в
окрестности точки касания расположена «ближе» к гра-
фику функции, чем другие прямые.
Производная f
0
(x
0
), являясь угловым коэффициентом
касательной, равна tg α, где α — угол между осью абсцисс
и касательной. Дифференциал функции df(x
0
) = f
0
(x)∆x
при заданном ∆x равен приращению ординаты касатель-
ной.
Определение. Пусть f непрерывна в точке x
0
и
∆f
∆x
→
→ +∞ (−∞, ∞) при ∆x → 0. Тогда говорят, что f
имеет бесконечную производную в точке x
0
, f
0
(x
0
) = +∞
(−∞, ∞) и что график функции f имеет в точке (x
0
, f(x
0
))
вертикальную касательную x = x
0
.
Ранее рассмотренную касательную с конечным угло-
вым коэффициентом f
0
(x
0
) называют часто наклонной ка-
сательной.
Определение 1. Правой (левой) односторонней про-
изводной функции f в точке x
0
называется
f
0
+
(x
0
) B lim
∆x→0+0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
,
f
0
−
(x
0
) B lim
∆x→0−0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
,
если этот предел существует и конечен.
Слово «односторонняя» часто опускают и называют
f
0
+
(x
0
) правой, а f
0
−
(x
0
) — левой производной.
Теорема 2. Производная f
0
(x
0
) существует тогда и
только тогда, когда существуют f
0
+
(x
0
), f
0
−
(x
0
) и f
0
+
(x
0
) =
= f
0
−
(x
0
).
Докажите в качестве упражнения.
Теорема 3. Пусть ∃f
0
+
(x
0
). Тогда функция f непре-
рывна справа в точке x
0
.
 § 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 77

   Доказанная теорема показывает, что касательная в
окрестности точки касания расположена «ближе» к гра-
фику функции, чем другие прямые.
   Производная f 0 (x0 ), являясь угловым коэффициентом
касательной, равна tg α, где α — угол между осью абсцисс
и касательной. Дифференциал функции df (x0 ) = f 0 (x)∆x
при заданном ∆x равен приращению ординаты касатель-
ной.
   Определение. Пусть f непрерывна в точке x0 и ∆f   ∆x →
→ +∞ (−∞, ∞) при ∆x → 0. Тогда говорят, что f
имеет бесконечную производную в точке x0 , f 0 (x0 ) = +∞
(−∞, ∞) и что график функции f имеет в точке (x0 , f (x0 ))
вертикальную касательную x = x0 .
   Ранее рассмотренную касательную с конечным угло-
вым коэффициентом f 0 (x0 ) называют часто наклонной ка-
сательной.
   Определение 1. Правой (левой) односторонней про-
изводной функции f в точке x0 называется
                                f (x0 + ∆x) − f (x0 )
            f+0 (x0 ) B lim                           ,
                        ∆x→0+0          ∆x
                                                     
                                f (x0 + ∆x) − f (x0 )
            f−0 (x0 ) B lim                             ,
                        ∆x→0−0          ∆x
если этот предел существует и конечен.
    Слово «односторонняя» часто опускают и называют
f+ (x0 ) правой, а f−0 (x0 ) — левой производной.
 0


   Теорема 2. Производная f 0 (x0 ) существует тогда и
только тогда, когда существуют f+0 (x0 ), f−0 (x0 ) и f+0 (x0 ) =
= f−0 (x0 ).
   Докажите в качестве упражнения.

   Теорема 3. Пусть ∃ f+0 (x0 ). Тогда функция f непре-
рывна справа в точке x0 .

Страницы