Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 78 стр.

78          Глава 5. Производные и дифференциалы

   Докажите в качестве упражнения. Сформулируйте и
докажите аналогичную теорему о непрерывности слева.
   З а м е ч а н и е 1. На основе односторонней произ-
водной можно ввести понятие односторонней касательной.
   Упражнение 1. Рассмотрите с этой точки зрения при-
мер f (x) = | sin x|.

      § 5.4. Производная обратной функции
   Теорема 1. Пусть функция y = f (x) непрерывна и
строго монотонна в U (x0 ), f 0 (x0 ) 6= 0. Тогда обратная
функция x = f −1 (y) имеет производную в точке y0 = f (x0 ),
                             1 .
причем (f −1 )0 (y0 ) = f 0 (x
                         0     )
    Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме об обратной функ-
ции f −1 определена, строго монотонна и непрерывна на не-
которой окрестности U (y0 ) точки y0 .
    В силу дифференцируемости f в точке x0 приращения
∆x = x − x0 и ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) связаны соотноше-
нием
                   ∆y = (f 0 (x0 ) + ε(∆x))∆x,
где ε(∆x) → 0 при ∆x → 0.
    В силу строгой монотонности f каждое из ∆x, ∆y од-
нозначно определяется другим. Будем считать теперь ∆y
независимым, тогда ∆x = ϕ(∆y). При этом ϕ(0) = 0, ϕ
строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности
U (0) точки 0. Тогда
               ∆y = (f 0 (x0 ) + ε(ϕ(∆y)))∆x.
По теореме о пределе суперпозиции ε(ϕ(∆y)) → 0 при ∆y →
→ 0. Тогда
      ∆x           1             1
         = 0                 → 0      при ∆y → 0,
      ∆y  f (x0 ) + ε(ϕ(∆y))  f (x0 )
что и требовалось доказать.