Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 5. Производные и дифференциалы
= f
0
(y
0
)ϕ
0
(x
0
)∆x + f
0
(y
0
)ε
1
(∆x)∆x + ε(∆y)∆y.
Поделив это равенство почленно на ∆x, получим
∆z
∆x
= f
0
(y
0
)ϕ
0
(x
0
) + ε
1
(∆x) + ε(∆y)
∆y
∆x
.
Учитывая, что ∆y → 0 при ∆x → 0, а
∆y
∆x
→ ϕ
0
(x
0
),
и переходя в последнем равенстве к пределу при ∆x → 0,
получаем утверждение теоремы.
Рассмотрим дифференциал сложной функции y =
= f(ϕ(x)), где функции y = f(u) и u = ϕ(x) имеют про-
изводные f
0
(x
0
), ϕ
0
(u
0
), u
0
= ϕ(x
0
). В силу теоремы о про-
изводной сложной функции
dy = f
0
(u
0
)ϕ
0
(x
0
) dx.
С другой стороны, du = ϕ
0
(x
0
) dx, поэтому можно записать
dy = f
0
(u
0
) du,
где du — дифференциал функции. Мы видим, что диффе-
ренциал dy имеет ту же форму, как если бы u было незави-
симым переменным. Это свойство называется инвариант-
ностью формы первого дифференциала.
Пример. Найдем производную функции y = x
α
:
(0, ∞) → R, α ∈ R. Эту функцию можно представить в
виде y = e
α ln x
= e
u
, u = α ln x.
Применяя теорему о производной сложной функции,
имеем (x
α
)
0
= (e
α ln x
)
0
= e
α ln x
α
1
x
= αx
α−1
.
З а м е ч а н и е. В теореме 1 функции f, ϕ
определены в некоторых окрестностях U(y
0
), U(x
0
) соот-
ветственно. Это условие можно заменить более общим, по-
требовав, чтобы f или ϕ или обе функции были определены
лишь в полуокрестностях соответственно точек y
0
, x
0
, но
чтобы при этом сложная функция имела смысл. Тогда ра-
венство (f (ϕ))
0
(x
0
) = f
0
(y
0
)ϕ
0
(x
0
) по-прежнему будет иметь
место, если под производными понимать при необходимо-
сти односторонние производные.
80           Глава 5. Производные и дифференциалы

              = f 0 (y0 )ϕ0 (x0 )∆x + f 0 (y0 )ε1 (∆x)∆x + ε(∆y)∆y.
     Поделив это равенство почленно на ∆x, получим
          ∆z                                        ∆y
              = f 0 (y0 )ϕ0 (x0 ) + ε1 (∆x) + ε(∆y)    .
          ∆x                                        ∆x
                                                   ∆y
   Учитывая, что ∆y → 0 при ∆x → 0, а ∆x               → ϕ0 (x0 ),
и переходя в последнем равенстве к пределу при ∆x → 0,
получаем утверждение теоремы.
   Рассмотрим дифференциал сложной функции y =
= f (ϕ(x)), где функции y = f (u) и u = ϕ(x) имеют про-
изводные f 0 (x0 ), ϕ0 (u0 ), u0 = ϕ(x0 ). В силу теоремы о про-
изводной сложной функции
                      dy = f 0 (u0 )ϕ0 (x0 ) dx.
С другой стороны, du = ϕ0 (x0 ) dx, поэтому можно записать
                         dy = f 0 (u0 ) du,
где du — дифференциал функции. Мы видим, что диффе-
ренциал dy имеет ту же форму, как если бы u было незави-
симым переменным. Это свойство называется инвариант-
ностью формы первого дифференциала.
    Пример.         Найдем производную функции y = xα :
(0, ∞) → R, α ∈ R. Эту функцию можно представить в
виде y = eα ln x = eu , u = α ln x.
    Применяя теорему о производной сложной функции,
имеем (xα )0 = (eα ln x )0 = eα ln x α x1 = αxα−1 .
    З а м е ч а н и е. В теореме 1 функции f , ϕ
определены в некоторых окрестностях U (y0 ), U (x0 ) соот-
ветственно. Это условие можно заменить более общим, по-
требовав, чтобы f или ϕ или обе функции были определены
лишь в полуокрестностях соответственно точек y0 , x0 , но
чтобы при этом сложная функция имела смысл. Тогда ра-
венство (f (ϕ))0 (x0 ) = f 0 (y0 )ϕ0 (x0 ) по-прежнему будет иметь
место, если под производными понимать при необходимо-
сти односторонние производные.

Страницы