Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 5. Производные и дифференциалы
F ), что продифференцированное тождество может быть
разрешено относительно f
0
. Выразив f
0
, мы найдем тем
самым производную неявно заданной функции.
Пример. Пусть F (x, y) = x
2
+ y
2
− 1. Пусть y = f(x)
— одно из решений уравнения x
2
+y
2
−1 = 0 при x ∈ (−1, 1).
Тогда x
2
+ (f(x))
2
− 1 ≡ 0 является тождеством на (−1, 1).
Предполагая, что f дифференцируема на (−1, 1), продиф-
ференцируем это тождество. Получим 2x + 2f(x)f
0
(x) = 0,
т. е. f
0
(x) = −
x
f(x)
.
§ 5.6. Производные и дифференциалы
высших порядков
Пусть функция f определена на U(x
0
) и имеет там про-
изводную f
0
(x), x ∈ U (x
0
). Производная f
0
(x) сама явля-
ется функцией переменного x. Если она в точке x
0
имеет
производную (f
0
)
0
(x
0
), то эту производную называют вто-
рой производной в точке x
0
и обозначают f
00
(x
0
).
Вообще , производная порядка n функции f определя-
ется равенством
f
(n)
(x
0
) = (f
(n−1)
(x))
0
x=x
0
(n > 1).
Из него видно, в частности, что, если существует про-
изводная f
(n)
(x
0
), то производная f
(n−1)
должна быть опре-
делена в некоторой окрестности U (x
0
) точки (x
0
).
Производные порядка n обозначают символами f
(n)
(x
0
)
или
d
n
f(x
0
)
dx
n
.
Удобно считать, что f
(0)
(x) B f(x).
Теорема 1 (свойства производных высших по-
рядков). Пусть существуют f
(n)
(x
0
), g
(n)
(x
0
). Тогда
в точке x
0
1.
◦
∃(f ± g)
(n)
= f
(n)
± g
(n)
.
82             Глава 5. Производные и дифференциалы

F ), что продифференцированное тождество может быть
разрешено относительно f 0 . Выразив f 0 , мы найдем тем
самым производную неявно заданной функции.
    Пример. Пусть F (x, y) = x2 + y 2 − 1. Пусть y = f (x)
— одно из решений уравнения x2 +y 2 −1 = 0 при x ∈ (−1, 1).
Тогда x2 + (f (x))2 − 1 ≡ 0 является тождеством на (−1, 1).
Предполагая, что f дифференцируема на (−1, 1), продиф-
ференцируем это тождество. Получим 2x + 2f (x)f 0 (x) = 0,
                    x .
т. е. f 0 (x) = − f (x)


        § 5.6. Производные и дифференциалы
                  высших порядков
   Пусть функция f определена на U (x0 ) и имеет там про-
изводную f 0 (x), x ∈ U (x0 ). Производная f 0 (x) сама явля-
ется функцией переменного x. Если она в точке x0 имеет
производную (f 0 )0 (x0 ), то эту производную называют вто-
рой производной в точке x0 и обозначают f 00 (x0 ).
   Вообще, производная порядка n функции f определя-
ется равенством

              f (n) (x0 ) = (f (n−1) (x))0          (n > 1).
                                             x=x0

   Из него видно, в частности, что, если существует про-
изводная f (n) (x0 ), то производная f (n−1) должна быть опре-
делена в некоторой окрестности U (x0 ) точки (x0 ).
   Производные порядка n обозначают символами f (n) (x0 )
      dn f (x0 )
или     dxn .
     Удобно считать, что f (0) (x) B f (x).

   Теорема 1 (свойства производных высших по-
рядков).       Пусть существуют f (n) (x0 ), g (n) (x0 ). Тогда
в точке x0
    1.◦ ∃ (f ± g)(n) = f (n) ± g (n) .

Страницы