Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 5. Производные и дифференциалы
x
y
0
∆f
α
df
x
0
+ h
x
0
M
0
M
h
Рис. 5.1
Определение. Пусть существует f
0
(x
0
). Касательной
к графику функции f в точке (x
0
, f(x
0
)) называется прямая
y = y
0
+ f
0
(x
0
)(x − x
0
), где y
0
= f (x
0
).
Теорема 1. Пусть функция f определена в U(x
0
) и
существует f
0
(x
0
). Тогда среди всех прямых, проходящих
через точку (x
0
, f(x
0
)) (y
пр
= λ(x − x
0
) + y
0
, y
0
= f(x
0
)),
касательная к графику функции f и только она обладает
свойством
f(x) − y
пр
= o(x − x
0
) при x → x
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку f дифференцируема
в точке x
0
, имеем
f(x) − f(x
0
) = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
) при x → x
0
.
Отсюда
f(x) − y
пр
= [f
0
(x
0
) − λ](x − x
0
) + o(x − x
0
).
Правая часть равенства является o(x−x
0
) при x → x
0
тогда
и только тогда, когда λ = f
0
(x
0
), т. е. когда прямая y
пр
=
= λ(x − x
0
) + y
0
является касательной.
76             Глава 5. Производные и дифференциалы
                  y

                                    Mh

                                               ∆f
                                          df
                               M0


                           α
                   0            x0 x0 + h            x
                               Рис. 5.1

   Определение. Пусть существует f 0 (x0 ). Касательной
к графику функции f в точке (x0 , f (x0 )) называется прямая
             y = y0 + f 0 (x0 )(x − x0 ), где y0 = f (x0 ).

   Теорема 1. Пусть функция f определена в U (x0 ) и
существует f 0 (x0 ). Тогда среди всех прямых, проходящих
через точку (x0 , f (x0 )) (yпр = λ(x − x0 ) + y0 , y0 = f (x0 )),
касательная к графику функции f и только она обладает
свойством
               f (x) − yпр = o(x − x0 ) при x → x0 .


   Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку f дифференцируема
в точке x0 , имеем
     f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) при x → x0 .
Отсюда
          f (x) − yпр = [f 0 (x0 ) − λ](x − x0 ) + o(x − x0 ).
Правая часть равенства является o(x−x0 ) при x → x0 тогда
и только тогда, когда λ = f 0 (x0 ), т. е. когда прямая yпр =
= λ(x − x0 ) + y0 является касательной.

Страницы