Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74 Глава 5. Производные и дифференциалы
Тогда f
0
(x
0
) −
∆f(x
0
)
∆x
= o(1) при ∆x → 0.
Умножая последнее равенство почленно на ∆x, полу-
чаем
∆f(x
0
) = f
0
(x
0
)∆x + o(∆x) при ∆x → 0. (3)
Это означает, что приращение функции f представлено в
виде (1) с A = f
0
(x
0
), так что f дифференцируема в точке
x
0
.
Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в
точке x
0
. Тогда она непрерывна в точке x
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы прираще-
ние ∆f(x
0
) представимо в виде (1). Из (1) следует, что
∆f(x
0
) → 0 при ∆x → 0, а это и означает непрерывность
функции в точке x
0
.
Пример f(x) = |x|, x
0
= 0, показывает, что непрерыв-
ность функции в точке не влечет ее дифференцируемости в
этой точке.
Последние две теоремы показывают, что дифференци-
руемость функции в точке x
0
и существование производ-
ной f
0
(x
0
) — эквивалентные условия и что каждое из них
сильнее условия непрерывности функции в точке x
0
.
Представление (1), как показано, можно записать в
виде (3). Выраже ние дифференциала функции f в точке
x
0
(2) соответственно принимает вид
df(x
0
) = f
0
(x
0
)∆x, −∞ < ∆x < ∞.
В последней записи переменную ∆x часто (ради симме-
трии записи) обозначают через dx = ∆x. Тогда дифферен-
циал df(x
0
) принимает вид
df(x
0
) = f
0
(x
0
) dx, −∞ < dx < +∞.
При этом dx называют дифференциалом независимой
переменной, а df(x
0
) — дифференциалом функции. Симво-
лом
df
dx
часто обозначают производную f
0
, но теперь видно,
74         Глава 5. Производные и дифференциалы

                ∆f (x )
Тогда f 0 (x0 ) − ∆x 0 = o(1) при ∆x → 0.
     Умножая последнее равенство почленно на ∆x, полу-
чаем
           ∆f (x0 ) = f 0 (x0 )∆x + o(∆x) при ∆x → 0.   (3)
Это означает, что приращение функции f представлено в
виде (1) с A = f 0 (x0 ), так что f дифференцируема в точке
x0 .
   Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в
точке x0 . Тогда она непрерывна в точке x0 .
    Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы прираще-
ние ∆f (x0 ) представимо в виде (1). Из (1) следует, что
∆f (x0 ) → 0 при ∆x → 0, а это и означает непрерывность
функции в точке x0 .
    Пример f (x) = |x|, x0 = 0, показывает, что непрерыв-
ность функции в точке не влечет ее дифференцируемости в
этой точке.
    Последние две теоремы показывают, что дифференци-
руемость функции в точке x0 и существование производ-
ной f 0 (x0 ) — эквивалентные условия и что каждое из них
сильнее условия непрерывности функции в точке x0 .
    Представление (1), как показано, можно записать в
виде (3). Выражение дифференциала функции f в точке
x0 (2) соответственно принимает вид
           df (x0 ) = f 0 (x0 )∆x,    −∞ < ∆x < ∞.
   В последней записи переменную ∆x часто (ради симме-
трии записи) обозначают через dx = ∆x. Тогда дифферен-
циал df (x0 ) принимает вид
           df (x0 ) = f 0 (x0 ) dx,   −∞ < dx < +∞.
   При этом dx называют дифференциалом независимой
переменной, а df (x0 ) — дифференциалом функции. Симво-
    df
лом dx часто обозначают производную f 0 , но теперь видно,

Страницы