Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.2. Дифференциал 73
− f(x
0
), ∆g = g(x
0
+ ∆x) − g(x
0
). Тогда
f(x)
g(x)
−
f(x
0
)
g(x
0
)
∆x
=
(f(x
0
) + ∆f)g(x
0
) − f(x
0
)(g(x
0
) + ∆g)
∆x g(x
0
+ ∆x)g(x
0
)
=
=
∆f
∆x
g(x
0
) − f(x
0
)
∆g
∆x
g(x
0
+ ∆x)g(x
0
)
→
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f(x
0
)g
0
(x
0
)
g(x
0
)
2
при x → x
0
.
§ 5.2. Дифференциал
Определение. Пусть функция f определена в U(x
0
),
x
0
∈ R. Пусть ее приращение в точке x
0
может быть пред-
ставлено в виде
∆f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = A∆x + o(∆x) (1)
при A ∈ R.
Тогда функцию f называют дифференцируемой в точке
x
0
, а линейную функцию
df(x
0
) = A∆x, −∞ < ∆x < ∞, (2)
— дифференциалом функции f в точке x
0
.
Теорема 1. Функция f дифференцируема в точке x
0
тогда и только тогда, когда существует f
0
(x
0
). При этом
A = f
0
(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть f дифференцируема
в точке x
0
. Тогда справедливо равенство (1).
Поделив его почленно на ∆x, получим
∆f(x
0
)
∆x
= A + o(1).
Переходя в этом равенстве к пределу при ∆x → 0, по-
лучим, что ∃f
0
(x
0
) = A.
2
◦
. Пусть теперь существует
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
∆f(x
0
)
∆x
.
                        § 5.2. Дифференциал                               73

− f (x0 ), ∆g = g(x0 + ∆x) − g(x0 ). Тогда
f (x)   f (x )
g(x)
      − g(x 0)       (f (x0 ) + ∆f )g(x0 ) − f (x0 )(g(x0 ) + ∆g)
            0
                 =                                                =
     ∆x                         ∆x g(x0 + ∆x)g(x0 )
              ∆f                  ∆g
              ∆x g(x0 ) − f (x0 ) ∆x       f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
          =                            →
                 g(x0 + ∆x)g(x0 )                      g(x0 )2
при x → x0 .

                      § 5.2. Дифференциал
   Определение. Пусть функция f определена в U (x0 ),
x0 ∈ R. Пусть ее приращение в точке x0 может быть пред-
ставлено в виде
       ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)                    (1)
при A ∈ R.
     Тогда функцию f называют дифференцируемой в точке
x0 , а линейную функцию
                 df (x0 ) = A∆x,     −∞ < ∆x < ∞,                        (2)
— дифференциалом функции f в точке x0 .
   Теорема 1. Функция f дифференцируема в точке x0
тогда и только тогда, когда существует f 0 (x0 ). При этом
A = f 0 (x0 ).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть f дифференцируема
в точке x0 . Тогда справедливо равенство (1).
   Поделив его почленно на ∆x, получим
                         ∆f (x0 )
                                  = A + o(1).
                           ∆x
   Переходя в этом равенстве к пределу при ∆x → 0, по-
лучим, что ∃ f 0 (x0 ) = A.
   2◦ . Пусть теперь существует
                                      ∆f (x0 )
                     f 0 (x0 ) = lim           .
                                 ∆x→0   ∆x

Страницы