Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 75
что на него можно смотреть как на частное двух диффе-
ренциалов.
Теорема 3 (арифметические свойства дифферен-
циалов). Пусть функции f, g дифференцируемы в точке
x
0
. Тогда функции f ±g, fg, и в случае g(x
0
) 6= 0
f
g
также
дифференцируемы в точке x
0
, причем в этой точке
1.
◦
d(f ± g) = df ± dg;
2.
◦
d(fg) = g df + f dg;
3.
◦
d
f
g
=
g df − f dg
g
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из соответству-
ющих формул для производных. Установим для примера
лишь 2
◦
. Формулу производной произведения (fg)
0
= f
0
g +
+ fg
0
домножим почленно на dx. Получим
d(fg) = (fg)
0
dx = g f
0
dx + f g
0
dx = g df + f dg.
§ 5.3. Геометрический смысл производной
и дифференциала
Проведем секущую M
0
M
h
через точки графика функции
y = f(x) M
0
= (x
0
, f(x
0
)) и M
h
= (x
0
+ h, f(x
0
+ h)), h 6= 0
(см. рис. 5.1).
Уравнение секущей M
0
M
h
имеет вид
y = k(h)(x − x
0
) + y
0
,
где y = f(x
0
), k(h) =
f(x
0
+ h) −f(x
0
)
h
.
Устремим h к нулю. Тогда точка M
h
будет стремиться
к M
0
, секущая — поворачиваться, меняя свой угловой ко-
эффициент k(h), который стремится к конечному пределу
тогда и только тогда, когда существует f
0
(x
0
): k(h) → k
0
=
= f
0
(x
0
).
Прямую, проходящую через точку графика (x
0
, f(x
0
))
и являющуюся «предельным положением секущей», назы-
вают касательной прямой. Дадим точное определение.
 § 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 75

что на него можно смотреть как на частное двух диффе-
ренциалов.
     Теорема 3 (арифметические свойства дифферен-
циалов). Пусть функции f , g дифференцируемы в точке
x0 . Тогда функции f ± g, f g, и в случае g(x0 ) 6= 0 fg также
дифференцируемы в точке x0 , причем в этой точке
     1.◦ d(f ± g) = df ± dg;
     2.◦ d(f
           g) = g df + f dg;
     3. d fg = g df −2 f dg .
       ◦
                      g
    Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из соответству-
ющих формул для производных. Установим для примера
лишь 2◦ . Формулу производной произведения (f g)0 = f 0 g +
+ f g 0 домножим почленно на dx. Получим
       d(f g) = (f g)0 dx = g f 0 dx + f g 0 dx = g df + f dg.

    § 5.3. Геометрический смысл производной
                 и дифференциала
   Проведем секущую M0 Mh через точки графика функции
y = f (x) M0 = (x0 , f (x0 )) и Mh = (x0 + h, f (x0 + h)), h 6= 0
(см. рис. 5.1).
   Уравнение секущей M0 Mh имеет вид
                     y = k(h)(x − x0 ) + y0 ,
                                   f (x0 + h) − f (x0 )
           где y = f (x0 ), k(h) =                      .
                                              h
   Устремим h к нулю. Тогда точка Mh будет стремиться
к M0 , секущая — поворачиваться, меняя свой угловой ко-
эффициент k(h), который стремится к конечному пределу
тогда и только тогда, когда существует f 0 (x0 ): k(h) → k0 =
= f 0 (x0 ).
   Прямую, проходящую через точку графика (x0 , f (x0 ))
и являющуюся «предельным положением секущей», назы-
вают касательной прямой. Дадим точное определение.

Страницы