Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5
ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 5.1. Производная
Определение. Пусть функция f определена в U (x
0
),
x
0
∈ R.
Предел lim
x→x
0
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
, если он существует и конечен,
называется производной функции f в точке x
0
и обознача-
ется символом f
0
(x
0
).
Вычисление производной от функции называется диф-
ференцированием.
Упражнение 1. Доказать, что функция, имеющая про-
изводную в данной точке, непрерывна в ней.
Примеры. (sin x)
0
= cos x, (cos x)
0
= −sin x, (x
n
)
0
=
= nx
n−1
(n ∈ N), (a
x
)
0
= a
x
ln a.
Теорема 1 (свойства производных, связанные с
арифметическими операциями). Пусть существуют
f
0
(x
0
), g
0
(x
0
). Тогда:
1.
◦
(f ± g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
);
2.
◦
(fg)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f(x
0
)g
0
(x
0
), в частности,
(cf)
0
(x
0
) = cf
0
(x
0
);
3.
◦
если g(x
0
) 6= 0, то
∃
f
g
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f(x
0
)g
0
(x
0
)
g(x
0
)
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о приведем лишь для формулы
дифференцирования дроби, т. к. другие устанавливаются
аналогично. Положим ∆x = x − x
0
, ∆f = f(x
0
+ ∆x) −
                   Глава 5
                ПРОИЗВОДНЫЕ
              И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

                      § 5.1. Производная
   Определение. Пусть функция f определена в U (x0 ),
x0 ∈ R.
                    f (x) − f (x0 )
    Предел lim          x − x0      , если он существует и конечен,
             x→x0
называется производной функции f в точке x0 и обознача-
ется символом f 0 (x0 ).
   Вычисление производной от функции называется диф-
ференцированием.
   Упражнение 1. Доказать, что функция, имеющая про-
изводную в данной точке, непрерывна в ней.
   Примеры. (sin x)0 = cos x, (cos x)0 = − sin x, (xn )0 =
= nxn−1 (n ∈ N), (ax )0 = ax ln a.

      Теорема 1 (свойства производных, связанные с
арифметическими операциями). Пусть существуют
f 0 (x0 ), g 0 (x0 ). Тогда:
      1.◦ (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 );
      2.◦ (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ), в частности,
           (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 );
        ◦
      3. если g(x0 ) 6= 0, то
                       0
                        f             f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
                    ∃         (x0 ) =                                    .
                        g                         g(x0 )2

   Д о к а з а т е л ь с т в о приведем лишь для формулы
дифференцирования дроби, т. к. другие устанавливаются
аналогично. Положим ∆x = x − x0 , ∆f = f (x0 + ∆x) −

Страницы