Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 4. Непрерывные функции
Пусть −1 < x < 0. Положив y B −x, z B
y
1 − y
=
=
−x
1 + x
> 0, имеем
(1+x)
1
x
= (1−y)
−
1
y
=
1
1 − y
1
y
=
1 +
y
1 − y
1
y
= (1+z)
1
z
+1
.
Таким образом,
(1 + x)
1
x
= (1 + z)
1
z
+1
z=
−x
1+x
, 0 < x < 1,
т. е. функция (1 + x)
1
x
представлена в виде суперпозиции
двух функций (f ◦ ϕ)(x), где
f : (0, +∞) → R, ϕ(−1, 0) → (0, +∞),
причем lim
x→0−0
ϕ(x) = 0, lim
z→0+0
f(z) = e.
Применяя теорему о пределе суперпозиции, получаем,
что
lim
x→0−0
(1 + x)
1
x
= e. (5)
Из (4), (5) следует 5
◦
.
З а м е ч а н и е 1. Теорема о пределе супер-
позиции f ◦ ϕ была установлена ранее для случая, когда
функции f, ϕ определены в проколотых окрестностях пре-
дельных точек.
Упражнение 1. Перенести эту теорему на нужный
нам случай односторонних пределов.
З а м е ч а н и е 2. Вместо теоремы о пределе
суперпозиции можно воспользоваться доказанной теоремой
о непрерывности суперпозиции непрерывных функций для
˜
f ◦ ˜ϕ, где
˜
f =
(
(1 + z)
1
z
+1
при z > 0,
e при z 6 0,
˜ϕ =
(
0 при x > 0,
−x
1 + x
при −1 < x < 0.
6
◦
. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e (a > 0, a 6= 1).
70                     Глава 4. Непрерывные функции
                                           y
   Пусть −1 < x < 0. Положив y B −x, z B 1 − y =
   −x
= 1 + x > 0, имеем
                                            1                   1
        1              − y1            1      y               y      y            1
(1+x) = (1−y)
        x                     =                   =       1+             = (1+z) z +1 .
                                      1−y                    1−y
     Таким образом,
                        1                1
              (1 + x) x = (1 + z) z +1                     ,   0 < x < 1,
                                                     −x
                                                  z= 1+x
                                  1
т. е. функция (1 + x) x представлена в виде суперпозиции
двух функций (f ◦ ϕ)(x), где
              f : (0, +∞) → R,                ϕ(−1, 0) → (0, +∞),
причем lim ϕ(x) = 0, lim f (z) = e.
            x→0−0                     z→0+0
   Применяя теорему о пределе суперпозиции, получаем,
что
                               1
                   lim (1 + x) x = e.             (5)
                              x→0−0
     Из (4), (5) следует 5◦ .
     З а м е ч а н и е 1. Теорема о пределе супер-
позиции f ◦ ϕ была установлена ранее для случая, когда
функции f, ϕ определены в проколотых окрестностях пре-
дельных точек.
     Упражнение 1. Перенести эту теорему на нужный
нам случай односторонних пределов.
     З а м е ч а н и е 2. Вместо теоремы о пределе
суперпозиции можно воспользоваться доказанной теоремой
о непрерывности суперпозиции непрерывных функций для
f˜ ◦ ϕ̃, где
                 1
      (                               (
                   +1                  0    при x > 0,
         (1 + z) z    при z > 0,
f˜ =                             ϕ̃ =    −x при − 1 < x < 0.
         e            при z 6 0,        1+x
                  loga (1 + x)
     6◦ . lim           x      = loga e (a > 0, a 6= 1).
            x→0

Страницы