Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава 4. Непрерывные функции
тем же углом (см. рис. 4.3) и сравнивая их площади, полу-
чаем
1
2
sin x <
1
2
x <
1
2
tg x,
0 1
Рис. 4.3
откуда
cos x <
sin x
x
< 1, 0 < x <
π
2
.
В силу четности функций
sin x
x
и
cos x те же неравенства верны и при
0 < |x| <
π
2
. Переходя в них к пре-
делу при x → 0 и учитывая, что
cos x → cos 0 = 1 в силу его непре-
рывности, получаем (1).
2
◦
. lim
x→0
tg x
x
= 1. В силу непрерывности функции cos x
имеем
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sin x
x
lim
x→0
1
cos x
= 1 · 1 = 1.
3
◦
. lim
x→0
arcsin x
x
= 1.
Заметим, что
arcsin x
x
=
y
sin y
y=arcsin x
, где вертикальная
черта означает, что в дробь
y
sin y
вместо y следует под-
ставить arcsin x. Таким образом,
arcsin x
x
представлена в
виде суперпозиции двух функций. Используя непрерыв-
ность arcsin x в точке x = 0, (1) и теорему о пределе су-
перпозиции двух функций, завершаем доказательство.
Видоизмененный вариант доказательства состоит в до-
определении единицей функции
y
sin y
в точке y = 0 и ис-
пользовании теоремы о непрерывности суперпозиции двух
непрерывных функций.
4
◦
. lim
x→0
arctg x
x
= 1. Представив
arctg x
x
в виде
y
tg y
y=arctg x
, повторяем рассуждения из доказательства 3
◦
.
68                     Глава 4. Непрерывные функции

тем же углом (см. рис. 4.3) и сравнивая их площади, полу-
чаем              1         1     1
                    sin x < x < tg x,
                  2         2     2
                                откуда
                                    sin x                π
                                  cos x < < 1, 0 < x < .
                                       x                 2
          0          1 В силу четности функций x x и   sin
                         cos x те же неравенства верны и при
                         0 < |x| < π2 . Переходя в них к пре-
                         делу при x → 0 и учитывая, что
        Рис. 4.3
                         cos x → cos 0 = 1 в силу его непре-
рывности, получаем (1).
   2◦ . lim tgxx = 1. В силу непрерывности функции cos x
        x→0
имеем
               tg x       sin x        1
           lim      = lim       lim       = 1 · 1 = 1.
          x→0 x       x→0 x x→0 cos x

       3◦ . lim arcsin
                   x
                       x = 1.
           x→0

       Заметим, что arcsin x = y                      , где вертикальная
                       x      sin y
                                         y=arcsin x
черта означает, что в дробь siny y вместо y следует под-
ставить arcsin x. Таким образом, arcsin
                                      x
                                        x представлена в
виде суперпозиции двух функций. Используя непрерыв-
ность arcsin x в точке x = 0, (1) и теорему о пределе су-
перпозиции двух функций, завершаем доказательство.
   Видоизмененный вариант доказательства состоит в до-
определении единицей функции siny y в точке y = 0 и ис-
пользовании теоремы о непрерывности суперпозиции двух
непрерывных функций.
   4◦ .  lim arctg
                x
                   x
                      = 1.    Представив arctg
                                             x
                                               x
                                                  в виде
              x→0
 y
tg y                , повторяем рассуждения из доказательства 3◦ .
        y=arctg x

Страницы