Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.9. Некоторые замечательные пределы 67
Непрерывность функции cos x можно доказать анало-
гично или воспользоваться равенством cos x = sin
x +
π
2
и теоремой о непрерывности суперпозиции непрерывных
функций.
Функции tg x =
sin x
cos x
, ctg x =
cos x
sin x
непрерывны в точ-
ках, где знаменатели отличны от нуля, как частные непре-
рывных функций.
Определение. Символами
arcsin x : [−1, 1] →
h
−
π
2
,
π
2
i
,
arccos x : [−1, 1] →
h
−
π
2
,
π
2
i
,
arctg x : (−∞, ∞) →
−
π
2
,
π
2
,
arcctg x : (−∞, ∞) → (0, π)
обозначаются соответственно функции, обратные к суже-
нию sin x на
h
−
π
2
,
π
2
i
, сужению cos x на [0, π], сужению tg x
на
−
π
2
,
π
2
, сужению ctg x на (0, π).
Теорема 2. Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x
непрерывны на областях их определе ний. При этом непре-
рывность arcsin x, arccos x в концах отрезков — областей
их определений, понимается как односторонняя.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы об обрат-
ных функциях.
§ 4.9. Некоторые замечательные пределы
1
◦
. lim
x→0
sin x
x
= 1. (1)
Рассматривая в тригонометрическом круге сектор с
углом радианной меры x, 0 < x <
π
2
, и два треугольника с
            § 4.9. Некоторые замечательные пределы       67

   Непрерывность функции cos x можно доказать анало-     
гично или воспользоваться равенством cos x = sin x + π2
и теоремой о непрерывности суперпозиции непрерывных
функций.
                    sin x , ctg x = cos x непрерывны в точ-
   Функции tg x = cos   x           sin x
ках, где знаменатели отличны от нуля, как частные непре-
рывных функций.
       Определение. Символами
                                    h π πi
                arcsin x : [−1, 1] → − ,      ,
                                    h 2π 2π i
                arccos x : [−1, 1] → − ,      ,
                                      2π 2π 
               arctg x : (−∞, ∞) → − ,          ,
                                        2 2
                 arcctg x : (−∞, ∞) → (0, π)
обозначаютсяh соответственно
                     i         функции, обратные к суже-
                 π π
нию sin x на − 2 , 2 , сужению cos x на [0, π], сужению tg x
           
на − π2 , π2 , сужению ctg x на (0, π).

   Теорема 2. Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x
непрерывны на областях их определений. При этом непре-
рывность arcsin x, arccos x в концах отрезков — областей
их определений, понимается как односторонняя.
   Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы об обрат-
ных функциях.

       § 4.9. Некоторые замечательные пределы

                         sin x
1◦ .                     lim   = 1.                   (1)
                    x→0 x

   Рассматривая в тригонометрическом круге сектор с
углом радианной меры x, 0 < x < π2 , и два треугольника с

Страницы