Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 4. Непрерывные функции
§ 4.8. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
Определение тригонометрических функций известно из
школьного курса. Здесь будет установлена их непрерыв-
ность.
Лемма.
|sin x| 6 |x| ∀x ∈ R. (1)
x
y
0
x
1
A
B
C
Рис. 4.2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
сначала 0 < x <
π
2
. Рассмотрим
часть тригонометрического круга,
лежащую в первом квадранте.
Пусть радианная мера угла
∠AOB равна x. Тогда длина дуги
AB равна x, а sin x = |[BC]| —
длине отрезка [BC]. Но из геоме-
трии известно, что
sin x = |[B, C]| < |[B, A]| < x.
Этим оценка (1) установле на при 0 < x <
π
2
. В силу четно-
сти обеих частей (1) она верна и при −
π
2
< x < 0. Остается
заметить, что (1) очевидно при x = 0 и при |x| > 1.
Теорема 1. Функции sin x, cos x, tg x, ctg x непрерывны
на областях их определения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функция y =
= sin x непрерывна в произвольной точке x
0
∈ R. Имеем
∆y = sin(x
0
+ ∆x) − sin x
0
= 2 cos
x
0
+
x
0
2
sin
∆x
2
.
В силу (1)
|∆y| 6 2
sin
∆x
2
6 |∆x|,
так что ∆y → 0 при ∆x → 0, что и доказывает непрерыв-
ность sin x в точке x
0
.
66                      Глава 4. Непрерывные функции

          § 4.8. Тригонометрические и обратные
               тригонометрические функции
   Определение тригонометрических функций известно из
школьного курса. Здесь будет установлена их непрерыв-
ность.
         Лемма.
                            | sin x| 6 |x|   ∀ x ∈ R.         (1)


     y                         Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
                               сначала 0 < x < π2 . Рассмотрим
     1                         часть тригонометрического круга,
                    B          лежащую в первом квадранте.
                                  Пусть радианная мера угла
           x                   ∠AOB равна x. Тогда длина дуги
                                
     0           C A         x AB равна x, а sin x = |[BC]| —
               Рис. 4.2        длине отрезка [BC]. Но из геоме-
                               трии известно, что
                        sin x = |[B, C]| < |[B, A]| < x.
Этим оценка (1) установлена при 0 < x < π2 . В силу четно-
сти обеих частей (1) она верна и при − π2 < x < 0. Остается
заметить, что (1) очевидно при x = 0 и при |x| > 1.
   Теорема 1. Функции sin x, cos x, tg x, ctg x непрерывны
на областях их определения.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функция y =
= sin x непрерывна в произвольной точке x0 ∈ R. Имеем
                                            x0      ∆x
    ∆y = sin(x0 + ∆x) − sin x0 = 2 cos x0 +       sin    .
                                             2         2
В силу (1)
                                 ∆x
                   |∆y| 6 2 sin      6 |∆x|,
                                  2
так что ∆y → 0 при ∆x → 0, что и доказывает непрерыв-
ность sin x в точке x0 .

Страницы