Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 4. Непрерывные функции
Тогда
a
xy
← a
r
0
n
ρ
0
n
= (a
r
0
n
)
ρ
0
n
6 (a
x
)
ρ
0
n
6 (a
x
)
y
6 (a
x
)
ρ
00
n
6 (a
r
00
n
)
ρ
00
n
=
= a
r
00
n
ρ
00
n
→ a
xy
,
откуда следует, что (a
x
)
y
= a
xy
.
Случаи других знаков x, y рассматриваются анало-
гично.
Случай 0 < a < 1 сводится к случаю a > 1 с помощью
соотношения a
x
=
1
1
a
x
.
6
◦
. Заметим сначала, что неравенство Бернулли допус-
кает следующее обобщение:
|a
x
− 1| 6 2|x|(a − 1) при a > 1, |x| 6 1.
Его можно получить, записав неравенство (2) для r
n
(вместо r), где r
n
→ x (n → ∞), и перейдя в этом неравен-
стве к пределу.
Установим непрерывность функции a
x
в произвольной
точке x
0
∈ (−∞, +∞). Пусть сначала a > 1. Тогда
|a
x
0
+∆x
− a
x
0
| = a
x
0
|a
∆x
− 1| 6 a
x
0
2|∆x|(a − 1) → 0
при ∆x → 0, что и требовалось показать.
Случай 0 < a < 1 сводится к случаю a > 1 с помощью
соотношения a
x
=
1
1
a
x
.
§ 4.7. Логарифмическая и степенная функции
Определение. Функция, обратная к функции y = a
x
(a > 0, a 6= 1), называется логарифмической функцией и
обозначается y = log
a
x. В случае a = e она обозначаетс я
ln x B log
e
x.
Теорема 1. Логарифмическая функция log
a
x:
(0, +∞) → (−∞, +∞) строго монотонна и непрерывна на
(0, +∞), область ее значений есть (−∞, +∞).
64                 Глава 4. Непрерывные функции

      Тогда
 xy        0   0    0   0        0                  00           00   00
a     ← arn ρn = (arn )ρn 6 (ax )ρn 6 (ax )y 6 (ax )ρn 6 (arn )ρn =
                                                         00 00
                                                   = arn ρn → axy ,
откуда следует, что (ax )y = axy .
   Случаи других знаков x, y рассматриваются анало-
гично.
   Случай 0 < a < 1 сводится к случаю a > 1 с помощью
соотношения ax =  1x .
                        1
                        a
   6◦ . Заметим сначала, что неравенство Бернулли допус-
кает следующее обобщение:
          |ax − 1| 6 2|x|(a − 1) при a > 1,        |x| 6 1.
   Его можно получить, записав неравенство (2) для rn
(вместо r), где rn → x (n → ∞), и перейдя в этом неравен-
стве к пределу.
   Установим непрерывность функции ax в произвольной
точке x0 ∈ (−∞, +∞). Пусть сначала a > 1. Тогда
      |ax0 +∆x − ax0 | = ax0 |a∆x − 1| 6 ax0 2|∆x|(a − 1) → 0
при ∆x → 0, что и требовалось показать.
   Случай 0 < a < 1 сводится к случаю a > 1 с помощью
соотношения ax =  1x .
                        1
                        a

    § 4.7. Логарифмическая и степенная функции
    Определение. Функция, обратная к функции y = ax
(a > 0, a 6= 1), называется логарифмической функцией и
обозначается y = loga x. В случае a = e она обозначается
ln x B loge x.
    Теорема 1. Логарифмическая функция loga x:
(0, +∞) → (−∞, +∞) строго монотонна и непрерывна на
(0, +∞), область ее значений есть (−∞, +∞).

Страницы