Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

62 Глава 4. Непрерывные функции
Заметим, что последовательность {r
n
} ограничена (как
всякая сходящаяся), поэтому при некотором M > 0
a
r
m
6 M ∀m ∈ N.
В силу сходимости последовательности {r
n
} для нее вы-
полнено условие Коши:
∀ε > 0 ∃n
ε
: |r
n
− r
m
| < ε ∀n, m > n
ε
.
Отсюда и из (4) при 0 < ε 6 1 имеем
|a
r
n
− a
r
m
| 6 M2(a − 1)ε ∀n, m > n
ε
.
Это означает, что для последовательности {a
r
n
} выполнено
условие Коши. В силу критерия Коши она сходится, т. е.
lim
n→∞
a
r
n
существует и конечен. Из (1) и 1
◦
следует, что
lim
n→∞
a
r
n
> 0.
Пусть теперь 0 < a < 1. Тогда a
r
n
=
1
1
a
r
n
и существо-
вание lim
n→∞
a
r
n
следует из уже установленного существова-
ния lim
n→∞
1
a
r
n
.
Случай a = 1 тривиален.
Установим 2). Пусть a > 1, r
n
→ x, r
0
n
→ x при n → ∞.
Тогда r
n
− r
0
n
→ 0 при n → ∞, и с помощью неравенства
Бернулли имеем
|a
r
n
−a
r
0
n
| = a
r
0
n
|a
r
n
−r
0
n
−1| 6 M2|r
n
−r
0
n
|(a−1) → 0 (n → ∞).
Отсюда следует, что
lim
n→∞
a
r
n
− lim
n→∞
a
r
0
n
= lim
n→∞
(a
r
n
− a
r
0
n
) = 0,
что и требовалось показать.
Случай 0 < a < 1 сводится к рассмотренному с помо-
щью равенства a
r
n
=
1
1
a
r
n
.
Установим 3). Для этого достаточно расс мотреть по-
следовательность {r
n
}, где r
n
= r ∀n ∈ N.
62                    Глава 4. Непрерывные функции

   Заметим, что последовательность {rn } ограничена (как
всякая сходящаяся), поэтому при некотором M > 0
                         arm 6 M      ∀ m ∈ N.
   В силу сходимости последовательности {rn } для нее вы-
полнено условие Коши:
            ∀ε > 0     ∃ nε : |rn − rm | < ε ∀ n, m > nε .
Отсюда и из (4) при 0 < ε 6 1 имеем
             |arn − arm | 6 M 2(a − 1)ε     ∀ n, m > nε .
Это означает, что для последовательности {arn } выполнено
условие Коши. В силу критерия Коши она сходится, т. е.
 lim arn существует и конечен. Из (1) и 1◦ следует, что
n→∞
 lim arn > 0.
n→∞
     Пусть теперь 0 < a < 1. Тогда arn =  1rn и существо-
                                                 1
                                                 a
вание lim arn следует из уже установленного существова-
      n→∞
         r n
ния lim a1     .
     n→∞
   Случай a = 1 тривиален.
   Установим 2). Пусть a > 1, rn → x, rn0 → x при n → ∞.
Тогда rn − rn0 → 0 при n → ∞, и с помощью неравенства
Бернулли имеем
        0         0       0
|arn −arn | = arn |arn −rn −1| 6 M 2|rn −rn0 |(a−1) → 0 (n → ∞).
Отсюда следует, что
                                  0                  0
             lim arn − lim arn = lim (arn − arn ) = 0,
            n→∞          n→∞          n→∞
что и требовалось показать.
   Случай 0 < a < 1 сводится к рассмотренному с помо-
щью равенства arn =  1rn .
                              1
                              a
   Установим 3). Для этого достаточно рассмотреть по-
следовательность {rn }, где rn = r ∀ n ∈ N.

Страницы