Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.6. Показательная функция 63
Определение. При a > 0 функция x → a
x
, x ∈
∈ (−∞, +∞) называется показательной с основанием a.
Теорема 1. Показательная функция имеет следующие
свойства:
1.
◦
a
x
> 0 ∀x ∈ (−∞, +∞);
2.
◦
при a > 1 строго возрастает, при 0 < a < 1 строго
убывает;
3.
◦
a
x
a
y
= a
x+y
;
4.
◦
(bc)
x
= b
x
c
x
;
5.
◦
(a
x
)
y
= a
xy
;
6.
◦
непрерывна на (−∞, +∞).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Следует из 2
◦
и (1).
2
◦
. Пусть a > 1, x < y. Пусть r, ρ — рациональные
числа, причем x < r < ρ < y.
Пусть r
n
→ x, ρ
n
→ y (n → ∞), причем r
n
6 r, ρ
n
> ρ
∀n ∈ N. Тогда, используя монотонность показательной
функции с рациональными показателями и предельный пе-
реход в неравенстве, получаем
a
x
= lim
n→∞
a
r
n
6 a
r
< a
ρ
6 lim
n→∞
a
ρ
n
= a
y
,
откуда следует, что a
x
< a
y
.
Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично.
3
◦
. Пусть r
n
→ x, ρ
n
→ y (n → ∞). Тогда
a
x
a
y
= lim
n→∞
a
r
n
lim
n→∞
a
ρ
n
= lim
n→∞
(a
r
n
a
ρ
n
) = lim
n→∞
a
r
n
+ρ
n
= a
x+y
.
В качестве следствия получаем отсюда, что a
x
a
−x
=
= a
0
= 1, a
−x
=
1
a
x
.
4
◦
. Доказать в качестве упражнения.
В качестве следствия получаем, что
a
x
> b
x
при a > b, x > 0,
для чего достаточно в 4
◦
взять c > 1, bc = a.
5
◦
. Пусть a > 1, x > 0, y > 0, r
0
n
↑ x, r
00
n
↓ x, ρ
0
n
↑ y,
ρ
00
n
↓ y.
                § 4.6. Показательная функция                63

   Определение. При a > 0 функция x → ax , x ∈
∈ (−∞, +∞) называется показательной с основанием a.
   Теорема 1. Показательная функция имеет следующие
свойства:
   1.◦ ax > 0 ∀ x ∈ (−∞, +∞);
   2.◦ при a > 1 строго возрастает, при 0 < a < 1 строго
       убывает;
   3.◦ ax ay = ax+y ;
   4.◦ (bc)x = bx cx ;
   5.◦ (ax )y = axy ;
   6.◦ непрерывна на (−∞, +∞).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Следует из 2◦ и (1).
   2◦ . Пусть a > 1, x < y. Пусть r, ρ — рациональные
числа, причем x < r < ρ < y.
   Пусть rn → x, ρn → y (n → ∞), причем rn 6 r, ρn > ρ
∀ n ∈ N. Тогда, используя монотонность показательной
функции с рациональными показателями и предельный пе-
реход в неравенстве, получаем
          ax = lim arn 6 ar < aρ 6 lim aρn = ay ,
               n→∞                    n→∞
откуда следует, что ax < ay .
   Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично.
   3◦ . Пусть rn → x, ρn → y (n → ∞). Тогда
ax ay = lim arn lim aρn = lim (arn aρn ) = lim arn +ρn = ax+y .
       n→∞     n→∞        n→∞             n→∞
   В качестве следствия получаем отсюда, что ax a−x =
= a0 = 1, a−x = a1x .
   4◦ . Доказать в качестве упражнения.
   В качестве следствия получаем, что
               ax > bx   при a > b,     x > 0,
для чего достаточно в 4◦ взять c > 1, bc = a.
    5◦ . Пусть a > 1, x > 0, y > 0, rn0 ↑ x, rn00 ↓ x, ρ0n ↑ y,
 00
ρn ↓ y.

Страницы