Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.6. Показательная функция 61
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала r =
1
n
, n ∈ N.
Положим λ B a
1
n
− 1 > 0. Тогда a
1
n
= 1 + λ, a > 1 + nλ,
откуда λ 6
a − 1
n
, т. е.
a
1
n
− 1 6
1
n
(a − 1). (3)
Пусть теперь 0 < r 6 1. Тогда при некотором n ∈ N
1
n + 1
<
< r 6
1
n
. С помощью (3) и монотонности a
r
имеем
a
r
− 1 < a
1
n
− 1 6
1
n
(a − 1) 6
2
n + 1
(a − 1) < 2r(a − 1)
и неравенство (2) в этом случае установлено.
Пусть теперь −1 6 r < 0. Тогда
|a
r
− 1| = a
r
|a
−r
− 1| 6 a
r
2(−r)(a − 1).
Учитывая, что a
r
< 1, получаем отсюда (2).
Лемма доказана.
Определение. Пусть a > 0, x ∈ R, lim
n→∞
r
n
= x.
Тогда
a
x
B lim
n→∞
a
r
n
.
Это определение корректно в следующем смысле:
1) lim
n→∞
a
r
n
существует и конечен;
2) lim
n→∞
a
r
n
не зависит от выбора последовательности {r
n
}
(r
n
→ x);
3) в случае x = r значение a
r
по этому определению совпа-
дает с прежним.
Установим 1). Пусть a > 1, r
n
→ x (n → ∞). Тогда
|r
n
−r
m
| 6 1 ∀n, m > n
1
в силу сходимости последователь-
ности {r
n
}. С помощью неравенства Бернулли имеем для
n, m > n
1
:
|a
r
n
− a
r
m
| = a
r
m
|a
r
n
−r
m
− 1| 6 a
r
m
2|r
n
− r
m
|(a − 1). (4)
                 § 4.6. Показательная функция                  61

                                                  1 , n ∈ N.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала r = n
                  1                    1
Положим λ B a n − 1 > 0. Тогда a n = 1 + λ, a > 1 + nλ,
откуда λ 6 a −   1
               n , т. е.
                        1          1
                       an − 1 6      (a − 1).                  (3)
                                   n
                                                    1 <
Пусть теперь 0 < r 6 1. Тогда при некотором n ∈ N n + 1
 0, x ∈ R, lim rn = x.
                                                n→∞
   Тогда
                            ax B lim arn .
                                 n→∞
   Это определение корректно в следующем смысле:
1) lim arn существует и конечен;
  n→∞
2) lim arn не зависит от выбора последовательности {rn }
  n→∞
  (rn →    x);
3) в случае x = r значение ar по этому определению совпа-
    дает с прежним.
    Установим 1). Пусть a > 1, rn → x (n → ∞). Тогда
|rn − rm | 6 1 ∀ n, m > n1 в силу сходимости последователь-
ности {rn }. С помощью неравенства Бернулли имеем для
n, m > n1 :
  |arn − arm | = arm |arn −rm − 1| 6 arm 2|rn − rm |(a − 1).   (4)

Страницы