Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.5. Обратные функции 59
Функция f устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие отрезка [x
0
− ε, x
0
+ ε] и отрезка [y
1
, y
2
] ⊂ [A, B].
При этом y
1
< y
0
< y
2
. Возьмем δ > 0 столь малым, что
(y
0
− δ, y
0
+ δ) ⊂ (y
1
, y
2
). Тогда
f
−1
(U
δ
(y
0
)) ⊂ f
−1
((y
1
, y
2
)) = U
ε
(x
0
).
Следовательно, f
−1
непрерывна в точке y
0
.
Пусть теперь y
0
= A или y
0
= B. Тогда (односто-
ронняя) непрерывность f
−1
в точке y
0
доказывается ана-
логично (с использованием односторонних окрестностей).
Теорема доказана.
Аналогично формулируется и доказывается теорема для
строго убывающей функции.
Теорема 2. Пусть функция f : (a, b) → R задана на
интервале (a, b), строго возрастает и непрерывна.
Тогда обратная функция задана на интервале (A, B) =
=
inf
(a,b)
f, sup
(a,b)
f
!
, строго возрастает и непрерывна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем область значений Y
f
функции f. Покажем, что
A < f(x) < B ∀x ∈ (a, b). (1)
В самом деле, допущение противного, например, что
f(x
0
) > B при некотором x
0
∈ (a, b) означало бы в силу
строгого возрастания f , что f (x) > B при ∀x ∈ (x
0
, b), что
противоречит тому, что B = sup
(a,b)
f.
Покажем теперь, что
∀y
0
∈ (A, B) ∃x
0
∈ (a, b) : f(x
0
) = y
0
. (2)
Из определения верхней и нижней граней следует, что
∃x
1
, x
2
∈ (a, b) : f(x
1
) < y
0
, f(x
2
) > y
0
.
                      § 4.5. Обратные функции                       59

    Функция f устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие отрезка [x0 − ε, x0 + ε] и отрезка [y1 , y2 ] ⊂ [A, B].
При этом y1 < y0 < y2 . Возьмем δ > 0 столь малым, что
(y0 − δ, y0 + δ) ⊂ (y1 , y2 ). Тогда
               f −1 (Uδ (y0 )) ⊂ f −1 ((y1 , y2 )) = Uε (x0 ).
Следовательно, f −1 непрерывна в точке y0 .
   Пусть теперь y0 = A или y0 = B. Тогда (односто-
ронняя) непрерывность f −1 в точке y0 доказывается ана-
логично (с использованием односторонних окрестностей).
   Теорема доказана.
   Аналогично формулируется и доказывается теорема для
строго убывающей функции.

   Теорема 2. Пусть функция f : (a, b) → R задана на
интервале (a, b), строго возрастает и непрерывна.
   Тогда обратная
               ! функция задана на интервале (A, B) =
=   inf f, sup f , строго возрастает и непрерывна.
    (a,b)    (a,b)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем область значений Yf
функции f . Покажем, что
                     A < f (x) < B       ∀ x ∈ (a, b).              (1)
В самом деле, допущение противного, например, что
f (x0 ) > B при некотором x0 ∈ (a, b) означало бы в силу
строгого возрастания f , что f (x) > B при ∀ x ∈ (x0 , b), что
противоречит тому, что B = sup f .
                                      (a,b)
    Покажем теперь, что
             ∀ y0 ∈ (A, B) ∃ x0 ∈ (a, b) : f (x0 ) = y0 .           (2)

    Из определения верхней и нижней граней следует, что
            ∃ x1 , x2 ∈ (a, b) : f (x1 ) < y0 ,    f (x2 ) > y0 .

Страницы