Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.5. Обратные функции 57
Пусть ξ ∈ [a
n
, b
n
] ∀n ∈ N. Тогда при n → ∞ a
n
→ ξ,
b
n
→ ξ и (в силу непрерывности функции f в точке ξ)
f(a
n
) → f(ξ), f(b
n
) → f(ξ) при n → ∞.
Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем
f(ξ) 6 C 6 f(ξ) ⇒ f(ξ) = C,
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и
f(a) и f(b) имеют разные знаки. Тогда
∃ξ ∈ (a, b) : f(ξ) = 0.
Следствие 3. Пусть функция f непрерывна на [a, b],
m = min
[a,b]
f, M = max
[a,b]
f. Тогда функция f принимает все
значения из [m, M] и только эти значения.
§ 4.5. Обратные функции
Рассмотрим (числовую) функцию f : X → Y
f
, заданную
на (числовом) множестве X. Здесь Y
f
означает множество
ее значений. Пусть x
1
, x
2
∈ X, x
1
6= x
2
⇒ f(x
1
) 6= f(x
2
).
Тогда функция (отображение) f задает взаимно однознач-
ное соответствие X ↔ Y
f
. Поставив в соответствие ка-
ждому y ∈ Y
f
именно то (единственное) значение x ∈ X,
для которого f(x) = y, обозначим полученную функцию
символом
f
−1
: Y
f
→ X.
Функция f
−1
называется обратной по отношению к f. В
силу ее определения
y = f(x) ⇐⇒ x = f
−1
(y),
f
−1
(f(x)) = x ∀x ∈ X,
f(f
−1
(y)) = y ∀y ∈ Y
f
.
                   § 4.5. Обратные функции                 57

   Пусть ξ ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N. Тогда при n → ∞ an → ξ,
bn → ξ и (в силу непрерывности функции f в точке ξ)
        f (an ) → f (ξ),     f (bn ) → f (ξ) при n → ∞.
Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем
                 f (ξ) 6 C 6 f (ξ) ⇒ f (ξ) = C,
что и требовалось доказать.
    Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и
f (a) и f (b) имеют разные знаки. Тогда
                     ∃ ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = 0.

  Следствие 3. Пусть функция f непрерывна на [a, b],
m = min f , M = max f . Тогда функция f принимает все
     [a,b]           [a,b]
значения из [m, M ] и только эти значения.


                § 4.5. Обратные функции
    Рассмотрим (числовую) функцию f : X → Yf , заданную
на (числовом) множестве X. Здесь Yf означает множество
ее значений. Пусть x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Тогда функция (отображение) f задает взаимно однознач-
ное соответствие X ↔ Yf . Поставив в соответствие ка-
ждому y ∈ Yf именно то (единственное) значение x ∈ X,
для которого f (x) = y, обозначим полученную функцию
символом
                     f −1 : Yf → X.
Функция f −1 называется обратной по отношению к f . В
силу ее определения
                  y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y),
                    f −1 (f (x)) = x ∀ x ∈ X,
                   f (f −1 (y)) = y   ∀ y ∈ Yf .

Страницы