Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 4. Непрерывные функции
Из последних двух соотношений получаем, что
sup
[a,b]
f = B = f(x
0
).
Отсюда следует, во-первых, что sup
[a,b]
f < +∞, т. е. что
функция f ограничена сверху, и, во-вторых, что функция
f достигает своей верхней грани в точке x
0
.
Аналогично можно доказать, что функция f ограничена
снизу и достигает своей нижней грани.
Теорема доказана.
Упражнение 1. Сохранится ли доказательство тео-
ремы Вейерштрасса, если в ее условиях отрезок [a, b] заме-
нить на интервал (a, b)? Останется ли верным утвержде-
ние?
Следствие 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[a, b], f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b]. Тогда ∃d > 0: f (x) > d ∀x ∈
∈ [a, b].
Теорема 2 (Больцано–Коши о промежуточном
значении функции). Пусть функция непрерывна на от-
резке [a, b], f(a) = A, f(b) = B. Пусть C находится между
A и B.
Тогда ∃ξ ∈ [a, b]: f(ξ) = C.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
A = f(a) 6 C 6 f(b) = B. Поделим отрезок [a, b] по-
полам и через [a
1
, b
1
] обозначим такую его половину, для
которой f(a
1
) 6 C 6 f(b
1
). Поделим отрезок пополам и
через [a
2
, b
2
] обозначим такую его половину, для которой
f(a
2
) 6 C 6 f(b
2
). Продолжая процесс, получим стягиваю-
щуюся с истему вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]}, для которых
f(a
n
) 6 C 6 f(b
n
).
56              Глава 4. Непрерывные функции

     Из последних двух соотношений получаем, что
                     sup f = B = f (x0 ).
                     [a,b]

     Отсюда следует, во-первых, что sup f < +∞, т. е. что
                                        [a,b]
функция f ограничена сверху, и, во-вторых, что функция
f достигает своей верхней грани в точке x0 .
   Аналогично можно доказать, что функция f ограничена
снизу и достигает своей нижней грани.
   Теорема доказана.
   Упражнение 1. Сохранится ли доказательство тео-
ремы Вейерштрасса, если в ее условиях отрезок [a, b] заме-
нить на интервал (a, b)? Останется ли верным утвержде-
ние?

     Следствие 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[a, b], f (x) > 0 ∀ x ∈ [a, b]. Тогда ∃ d > 0: f (x) > d ∀ x ∈
∈ [a, b].


   Теорема 2 (Больцано–Коши о промежуточном
значении функции). Пусть функция непрерывна на от-
резке [a, b], f (a) = A, f (b) = B. Пусть C находится между
A и B.
   Тогда ∃ ξ ∈ [a, b]: f (ξ) = C.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
A = f (a) 6 C 6 f (b) = B. Поделим отрезок [a, b] по-
полам и через [a1 , b1 ] обозначим такую его половину, для
которой f (a1 ) 6 C 6 f (b1 ). Поделим отрезок пополам и
через [a2 , b2 ] обозначим такую его половину, для которой
f (a2 ) 6 C 6 f (b2 ). Продолжая процесс, получим стягиваю-
щуюся систему вложенных отрезков {[an , bn ]}, для которых
                     f (an ) 6 C 6 f (bn ).

Страницы